5 תשובות
בפונקציה עולה ככל שה y עולה כך גם הx עולה ביורדת ככל שה y עולה ככה הx יורד
לפי נקודות מינימום/מקסימום ונקודות קיצון
לי יש שיטה להסתכל על הקצה השמאלי של הפונקציה ולשים בקצה השמאלי איש ואז לראות אם הוא עולה או יורד, אני יודע שזה מטופש אבל זה ממש עזר עד שכבר קולטים לבד
בתחום עלייה מתקיים
f(x2)>f(x1) כאשר x2>x1
בתחום ירידה מתקיים
f(x2)<f(x1) כאשר x2>x1
את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ניתן למצוא לפי נגזרת הפונקציה -
גוזרים את הפונקציה ובודקים היכן הנגזרת חיובית, היכן היא שלילית והיכן היא 0.
אם הנגזרת חיובית, f'(x)>0, אז הפונקציה היא בתחום עלייה.
אם הנגזרת שלילית, f'(x)<0, אז הפונקציה היא בתחום ירידה.
אם f'(x)=0 אז הפונקציה f(x) מקבלת נקודות חשודות כקיצון שאלה נקודות שאם נעביר בהן משיק לגרף הפונקציה f(x), שיפוע המשיק יהיה 0 והוא יקביל לציר ה x.
לנקודת קיצון יש שני סוגים: מינימום ומקסימום. את סוג הקיצון ניתן לזהות על ידי טבלה: מציבים בטבלה את כל שיעורי הנקודות החשודות כקיצון ובודקים את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה בין כל שתי נקודות חשודות (וזאת עושים בכך שמציבים ערך מסוים בין כל שתי נקודות חשודות בפונקציית הנגזרת ובודקים אם היא חיובית או שלילית). אם הנקודה היא בין תחום ירידה ותחום עלייה כשתחום הירידה בא לפני הנקודה ותחום העלייה אחרי, אז הנקודה היא נקודת קיצון מסוג מינימום.
אם הנקודה היא בין תחום עלייה ותחום ירידה כשתחום העלייה מגיע לפני ותחום הירידה אחרי, אז הנקודה היא מסוג מקסימום.
אם הנקודה היא בין שני תחומי עלייה או שני תחומי ירידה, אז הנקודה היא אינה נקודת קיצון אלא נקודה חשודה כפיתול.
דוגמה לטבלה:
(נניח שהפונקציה היא רציפה, ושיעורי ה x של הנקודות החשודות שלה כקיצון הן x=1 ו- x=5, אלה הם מאפסי הנגזרת)
(10)...............(2)..................(1-)
x|______x<_____1____<x<_____5____>x
y'|______-______0______+_____0____-_i
y|_______\____min.____/____max.__\_i
נניח שקיבלנו טבלה שנראית כך.
x=1 ו- x=5 אלה מאפסי הנגזרת, והמספרים בסוגריים אלה המספרים שבוחרים להציב בנגזרת הפונקציה על מנת לבדוק אם הנגזרת חיובית או שלילית בכל תחום, ובכך לקבוע את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
על פי הטבלה ניתן לראות כי תחומי העלייה והירידה הם:
עלייה - i 1<x<5
ירידה - x<1 או x>5.
הנקודה שבה x=1 היא מסוג מינימום כיוון שהיא בין תחום ירידה ותחום עלייה,
והנקודה שבה x=5 היא מסוג מקסימום משום שהיא בין תחום עלייה ותחום ירידה.
כעת אתן דוגמה למקרה שבו נקודות חשודות כקיצון מתגלות כנקודות שאינן קיצון אלא חשודות כפיתול:
x|____x<___-3____<x<___0___<x<___3__>x
y'|___-_____0____-_____0____+_____0_+_i
y|____\_________\___min.__/_______/__i
על פי הטבלה, ניתן לראות שהנקודה שבה x=0 היא נקודת קיצון מסוג מינימום משום שהיא בין תחום ירידה ותחום עלייה, ואילו הנקודות שבהן x=3 ו- x=-3 אינן נקודות קיצון אלא נקודות חשודות כפיתול, משום שתחום העלייה או תחום הירידה אחריהן לא משתנה ממה שהוא היה לפני, אז בגרף נראה נקודות אלה כנקודות פיתול שמשנות את הקעירות של הגרף, אבל לא כנקודות מינימום ומקסימום.
f(x2)>f(x1) כאשר x2>x1
בתחום ירידה מתקיים
f(x2)<f(x1) כאשר x2>x1
את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ניתן למצוא לפי נגזרת הפונקציה -
גוזרים את הפונקציה ובודקים היכן הנגזרת חיובית, היכן היא שלילית והיכן היא 0.
אם הנגזרת חיובית, f'(x)>0, אז הפונקציה היא בתחום עלייה.
אם הנגזרת שלילית, f'(x)<0, אז הפונקציה היא בתחום ירידה.
אם f'(x)=0 אז הפונקציה f(x) מקבלת נקודות חשודות כקיצון שאלה נקודות שאם נעביר בהן משיק לגרף הפונקציה f(x), שיפוע המשיק יהיה 0 והוא יקביל לציר ה x.
לנקודת קיצון יש שני סוגים: מינימום ומקסימום. את סוג הקיצון ניתן לזהות על ידי טבלה: מציבים בטבלה את כל שיעורי הנקודות החשודות כקיצון ובודקים את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה בין כל שתי נקודות חשודות (וזאת עושים בכך שמציבים ערך מסוים בין כל שתי נקודות חשודות בפונקציית הנגזרת ובודקים אם היא חיובית או שלילית). אם הנקודה היא בין תחום ירידה ותחום עלייה כשתחום הירידה בא לפני הנקודה ותחום העלייה אחרי, אז הנקודה היא נקודת קיצון מסוג מינימום.
אם הנקודה היא בין תחום עלייה ותחום ירידה כשתחום העלייה מגיע לפני ותחום הירידה אחרי, אז הנקודה היא מסוג מקסימום.
אם הנקודה היא בין שני תחומי עלייה או שני תחומי ירידה, אז הנקודה היא אינה נקודת קיצון אלא נקודה חשודה כפיתול.
דוגמה לטבלה:
(נניח שהפונקציה היא רציפה, ושיעורי ה x של הנקודות החשודות שלה כקיצון הן x=1 ו- x=5, אלה הם מאפסי הנגזרת)
(10)...............(2)..................(1-)
x|______x<_____1____<x<_____5____>x
y'|______-______0______+_____0____-_i
y|_______\____min.____/____max.__\_i
נניח שקיבלנו טבלה שנראית כך.
x=1 ו- x=5 אלה מאפסי הנגזרת, והמספרים בסוגריים אלה המספרים שבוחרים להציב בנגזרת הפונקציה על מנת לבדוק אם הנגזרת חיובית או שלילית בכל תחום, ובכך לקבוע את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
על פי הטבלה ניתן לראות כי תחומי העלייה והירידה הם:
עלייה - i 1<x<5
ירידה - x<1 או x>5.
הנקודה שבה x=1 היא מסוג מינימום כיוון שהיא בין תחום ירידה ותחום עלייה,
והנקודה שבה x=5 היא מסוג מקסימום משום שהיא בין תחום עלייה ותחום ירידה.
כעת אתן דוגמה למקרה שבו נקודות חשודות כקיצון מתגלות כנקודות שאינן קיצון אלא חשודות כפיתול:
x|____x<___-3____<x<___0___<x<___3__>x
y'|___-_____0____-_____0____+_____0_+_i
y|____\_________\___min.__/_______/__i
על פי הטבלה, ניתן לראות שהנקודה שבה x=0 היא נקודת קיצון מסוג מינימום משום שהיא בין תחום ירידה ותחום עלייה, ואילו הנקודות שבהן x=3 ו- x=-3 אינן נקודות קיצון אלא נקודות חשודות כפיתול, משום שתחום העלייה או תחום הירידה אחריהן לא משתנה ממה שהוא היה לפני, אז בגרף נראה נקודות אלה כנקודות פיתול שמשנות את הקעירות של הגרף, אבל לא כנקודות מינימום ומקסימום.
בפונקציה קווית על פי המקדם של x כשהוא חיובי אז הפונקציה עולה ולהפך.
באותו הנושא: