7 תשובות
היי אנסה לעזור
היי היי
היי יכולה לנסות
תשלחי אני מעולה בזה
היי אנסה או שכבר עזרו לך
נעשה סדר פה:
מערכת משוואות היא למעשה כל נושא של חיתוך ישרים.
מה שחשוב להבין כאן זה שכל גרף שהוא קו בעולם, מיוצג על ידי אחת המשוואות:
משהו = x
משהו = y
איך הם נקבעים?
עוד דקה נסביר.
נעשה סדר קודם כל בעולם ה"שיפועים":
מה הוא שיפוע?
הכי קל לחשוב על שיפוע בתור "אחיזה עם הקרקע".
בכל פעם שיש לנו אחיזה עם הקרקע, בעצם "יש שיפוע".
מתי אין שיפוע? במקרה אחד ויחיד: כשאין אחיזה עם הקרקע! כלומר, כשאנחנו בנפילה חופשית.
לכן קווים שהם מקבילים לציר הy מוגדרים להיות גרפים ללא שיפוע, והם תמיד תמיד ייוצגו על ידי משוואה אחת ויחידה:
מספר = x
גם קל לדמיין את זה, כי אם למשל יש גרף שהוא x=4 אז זה בעצם קו מקביל לציר הy בx=4, וערך האיקס לא ישתנה לעולם.
כשיש שיפוע, אנחנו בעצם מדברים על 3 מצבים:
1. שיפוע חיובי.... הגרף באלכסון שעולה משמאל לימין... (כי הכיוון החיובי של x הוא כמעט תמיד משמאל לימין, אך זה תלוי בנו, ואפשר גם אחרת)
2. שיפוע שלילי..... הגרף באלכסון שיורד משמאל לימין...
3. שיפוע 0. כן כן.. זה מוגדר כ"יש שיפוע" מכיוון שיש אחיזה עם הקרקע. שיפוע 0 הוא כל גרף שמקביל לציר הx וערך הy בו לא משתנה.
לכן גרף זה תמיד ייוצג על ידי:
מספר = y
המשוואה הליניארית/הקווית היא תמיד
y = mx+b
יש כאלו שכותבים אותה:
y = ax+b
או
y = mx+n
וכן הלאה...
m או a זה תמיד השיפוע, וb או n תמיד המספר החופשי
מה תפקיד כל אות?
x הוא המשתנה הבלתי תלוי. אפשר לשנות אותן איך שנרצה.
m הוא השיפוע של הגרף ותמיד ירמז לנו איך הגרף ייראה, גם אם אין לנו אותו מצוייר מול העיניים.
b זה תמיד המספר החופשי, שהוא החיתוך עם ציר הy. אפשר גם להגיד שb הוא הזזה של הפונקציה מעלה ומטה, מכיוון שצורת הפונקציה (הזווית שלה והמיקום שלה) נקבעים בכלל לפי mx... כל מה שהמספר החופשי עושה (אגב, בכל סוג של פונקציה.. גם פרבולות וגם דברים מסובכים יותר) זה להרים את הפונקציה או להוריד אותה בנקודת החיתוך שלה עם ציר y. כלומר.. כמו לדחוף את הפונקציה למעלה או למטה.. מראשית הצירים.
y זה המשתנה התלוי, או בשפה המתמטית: "ערך הפונקציה". כששואלים שאלות מילוליות, חשוב לדעת את זה.. כי ערך הפונקציה זה פשוט כמו לשאול "מה הy שלך?"
דוגמאות:
y = 4
ישר רואים שיש שיפוע. כי לכל גרף מסוג
משהו = y יש שיפוע. אז כבר יודעים שהגרף לא מקביל לציר הy.
מכיוון שאפשר לכתוב את זה כמו:
y = 0*x+4
אנו מבינים שהשיפוע תמיד 0 בגרפים מסוג
מספר = y
ולכן זה תמיד יקביל לציר הx.
הגרף
y = 3x-5
הוא גרף יורד משמאל לימין... ונחתך בדיוק בציר הy בערך 5-.
הגרף
x = - 7
הוא גרף ללא שיפוע כמו שאמרנו.. ומקביל לציר הy, כשערך הx שווה ל7-.
שאלת השאלות:
אם כל קו בעולם הוא פונקציה...
האם מערכת הצירים שלנו היא שתי פונקציות בעצמה?
התשובה היא כן!!!
הגרף שמתאר את ציר הy הוא x=0
והגרף שמתאר את ציר הx הוא y=0
לכן כשמקבלים פונקציה ורוצים למצוא נקודות חיתוך עם הצירים, זה בעצם לפתור מערכת של שתי משוואות.
פשוט המשוואות הן נורא קלות וכל מה שעלינו לעשות זה להציב 0 בx ולקבל ערך בy, ולהיפך - להציב 0 בy ולקבל ערך בx.
כך נולדות שתי נקודות... וכמו שאנחנו יודעים.. כדי לצייר קו, צריך שתי נקודות לפחות.
בכל הנוגע למערכת של שתי משוואות, מדובר פה בשני גרפים...
שתמיד ייחתכו כל עוד השיפועים שלהם אינם מקבילים.
מה זה אומר?
שהגרף y =3x-7
והגרף y = 3x - 1872
בחיים לא ייחתכו. כי הם מקבילים.. וכאמור, קווים מקבילים לעולם לא ייפגשו (בגיאומטריה אוקלידית, זו שלומדים בחטיבה ובתיכון)
דוגמה נוספת:
הגרף y = 3x-8
והגרף 2y = 6x - 16
הם גרפים חופפים.. ולכן יש להם אינסוף נקודות חיתוך.
איך יודעים שהם חופפים, כי גרף אחד הוא כפולה ב2 של השני...
כלומר.. זה בדיוק אותו דבר אם מחלקים את הגרף השני ב2.
לכן מדובר באותו גרף... ו"שני הגרפים" האלה בעצם יושבים זה על זה.. כך שהם גרף אחד.
אז מה יוצא ממערכת משוואות?
בעצם, בדיוק מה שמקבלים מחיתוך של גרף אחד עם הצירים.
אנו מקבלים נקודה.
כשיש שתי משוואות שונות שנחתכות (כלומר, השיפועים אינם שווים), מה שנמצא זה בעצם ערך x וערך y שמקיימים את שתי המשוואות בו זמנית.
איך זה אפשרי?
מכיוון ששני הגרפים נחתכים אך ורק בנקודה אחת... והנקודה הזאת מקיימת את שתי המשוואות.
למשל...
מערכת המשוואות הנל:
y = 2x-7
3y = 9x-18
נבצע השוואת מקדמים כך שנחלק את המשוואה השנייה ב3..
ונקבל את המערכת:
y = 2x-7
y = 3x-6
נבצע חיסור משוואות (חיסור של אגף שמאל עם אגף שמאל.. וחיסור של אגף ימין עם אגף ימין)
ונקבל:
0 = 1-x-
וכשנבודד את x נקבל
x = - 1
נציב את זה באחת המשוואות הראשונות, לא חשוב איזו.
ונקבל:
y = 3*(-1)-6
כלומר y = -9
וכך נולדה נקודה.. שמתקיימת על שני הגרפים והיא בעצם נקודת החיתוך של שני הישרים.
הנקודה (9-,1-)
למעשה, כל מערכת משוואות היא מציאת נקודת חיתוך.. כל עוד יש לנו גרפים עם שיפועים שונים.
כמובן, גם גרף שאין לו שיפוע.. וגרף שיש לו שיפוע.. ייחתכו..
מערכת משוואות היא למעשה כל נושא של חיתוך ישרים.
מה שחשוב להבין כאן זה שכל גרף שהוא קו בעולם, מיוצג על ידי אחת המשוואות:
משהו = x
משהו = y
איך הם נקבעים?
עוד דקה נסביר.
נעשה סדר קודם כל בעולם ה"שיפועים":
מה הוא שיפוע?
הכי קל לחשוב על שיפוע בתור "אחיזה עם הקרקע".
בכל פעם שיש לנו אחיזה עם הקרקע, בעצם "יש שיפוע".
מתי אין שיפוע? במקרה אחד ויחיד: כשאין אחיזה עם הקרקע! כלומר, כשאנחנו בנפילה חופשית.
לכן קווים שהם מקבילים לציר הy מוגדרים להיות גרפים ללא שיפוע, והם תמיד תמיד ייוצגו על ידי משוואה אחת ויחידה:
מספר = x
גם קל לדמיין את זה, כי אם למשל יש גרף שהוא x=4 אז זה בעצם קו מקביל לציר הy בx=4, וערך האיקס לא ישתנה לעולם.
כשיש שיפוע, אנחנו בעצם מדברים על 3 מצבים:
1. שיפוע חיובי.... הגרף באלכסון שעולה משמאל לימין... (כי הכיוון החיובי של x הוא כמעט תמיד משמאל לימין, אך זה תלוי בנו, ואפשר גם אחרת)
2. שיפוע שלילי..... הגרף באלכסון שיורד משמאל לימין...
3. שיפוע 0. כן כן.. זה מוגדר כ"יש שיפוע" מכיוון שיש אחיזה עם הקרקע. שיפוע 0 הוא כל גרף שמקביל לציר הx וערך הy בו לא משתנה.
לכן גרף זה תמיד ייוצג על ידי:
מספר = y
המשוואה הליניארית/הקווית היא תמיד
y = mx+b
יש כאלו שכותבים אותה:
y = ax+b
או
y = mx+n
וכן הלאה...
m או a זה תמיד השיפוע, וb או n תמיד המספר החופשי
מה תפקיד כל אות?
x הוא המשתנה הבלתי תלוי. אפשר לשנות אותן איך שנרצה.
m הוא השיפוע של הגרף ותמיד ירמז לנו איך הגרף ייראה, גם אם אין לנו אותו מצוייר מול העיניים.
b זה תמיד המספר החופשי, שהוא החיתוך עם ציר הy. אפשר גם להגיד שb הוא הזזה של הפונקציה מעלה ומטה, מכיוון שצורת הפונקציה (הזווית שלה והמיקום שלה) נקבעים בכלל לפי mx... כל מה שהמספר החופשי עושה (אגב, בכל סוג של פונקציה.. גם פרבולות וגם דברים מסובכים יותר) זה להרים את הפונקציה או להוריד אותה בנקודת החיתוך שלה עם ציר y. כלומר.. כמו לדחוף את הפונקציה למעלה או למטה.. מראשית הצירים.
y זה המשתנה התלוי, או בשפה המתמטית: "ערך הפונקציה". כששואלים שאלות מילוליות, חשוב לדעת את זה.. כי ערך הפונקציה זה פשוט כמו לשאול "מה הy שלך?"
דוגמאות:
y = 4
ישר רואים שיש שיפוע. כי לכל גרף מסוג
משהו = y יש שיפוע. אז כבר יודעים שהגרף לא מקביל לציר הy.
מכיוון שאפשר לכתוב את זה כמו:
y = 0*x+4
אנו מבינים שהשיפוע תמיד 0 בגרפים מסוג
מספר = y
ולכן זה תמיד יקביל לציר הx.
הגרף
y = 3x-5
הוא גרף יורד משמאל לימין... ונחתך בדיוק בציר הy בערך 5-.
הגרף
x = - 7
הוא גרף ללא שיפוע כמו שאמרנו.. ומקביל לציר הy, כשערך הx שווה ל7-.
שאלת השאלות:
אם כל קו בעולם הוא פונקציה...
האם מערכת הצירים שלנו היא שתי פונקציות בעצמה?
התשובה היא כן!!!
הגרף שמתאר את ציר הy הוא x=0
והגרף שמתאר את ציר הx הוא y=0
לכן כשמקבלים פונקציה ורוצים למצוא נקודות חיתוך עם הצירים, זה בעצם לפתור מערכת של שתי משוואות.
פשוט המשוואות הן נורא קלות וכל מה שעלינו לעשות זה להציב 0 בx ולקבל ערך בy, ולהיפך - להציב 0 בy ולקבל ערך בx.
כך נולדות שתי נקודות... וכמו שאנחנו יודעים.. כדי לצייר קו, צריך שתי נקודות לפחות.
בכל הנוגע למערכת של שתי משוואות, מדובר פה בשני גרפים...
שתמיד ייחתכו כל עוד השיפועים שלהם אינם מקבילים.
מה זה אומר?
שהגרף y =3x-7
והגרף y = 3x - 1872
בחיים לא ייחתכו. כי הם מקבילים.. וכאמור, קווים מקבילים לעולם לא ייפגשו (בגיאומטריה אוקלידית, זו שלומדים בחטיבה ובתיכון)
דוגמה נוספת:
הגרף y = 3x-8
והגרף 2y = 6x - 16
הם גרפים חופפים.. ולכן יש להם אינסוף נקודות חיתוך.
איך יודעים שהם חופפים, כי גרף אחד הוא כפולה ב2 של השני...
כלומר.. זה בדיוק אותו דבר אם מחלקים את הגרף השני ב2.
לכן מדובר באותו גרף... ו"שני הגרפים" האלה בעצם יושבים זה על זה.. כך שהם גרף אחד.
אז מה יוצא ממערכת משוואות?
בעצם, בדיוק מה שמקבלים מחיתוך של גרף אחד עם הצירים.
אנו מקבלים נקודה.
כשיש שתי משוואות שונות שנחתכות (כלומר, השיפועים אינם שווים), מה שנמצא זה בעצם ערך x וערך y שמקיימים את שתי המשוואות בו זמנית.
איך זה אפשרי?
מכיוון ששני הגרפים נחתכים אך ורק בנקודה אחת... והנקודה הזאת מקיימת את שתי המשוואות.
למשל...
מערכת המשוואות הנל:
y = 2x-7
3y = 9x-18
נבצע השוואת מקדמים כך שנחלק את המשוואה השנייה ב3..
ונקבל את המערכת:
y = 2x-7
y = 3x-6
נבצע חיסור משוואות (חיסור של אגף שמאל עם אגף שמאל.. וחיסור של אגף ימין עם אגף ימין)
ונקבל:
0 = 1-x-
וכשנבודד את x נקבל
x = - 1
נציב את זה באחת המשוואות הראשונות, לא חשוב איזו.
ונקבל:
y = 3*(-1)-6
כלומר y = -9
וכך נולדה נקודה.. שמתקיימת על שני הגרפים והיא בעצם נקודת החיתוך של שני הישרים.
הנקודה (9-,1-)
למעשה, כל מערכת משוואות היא מציאת נקודת חיתוך.. כל עוד יש לנו גרפים עם שיפועים שונים.
כמובן, גם גרף שאין לו שיפוע.. וגרף שיש לו שיפוע.. ייחתכו..