מותר להשתמש בקיו הישועות גם בשבת?

לא חושבת.
אסור להתפלל מהטלפון בשבת כי זה חילול השם, אותו עיקרון בערך.

לא, וגם לא נראלי שזה פתוח בשבת, אבל גם אם זה פתוח - המטרה של הקו זה לחזר ביהדות, ולכן להשתמש בקו בשבת זה לא שייך