כמה זה 1 חלקי אינסוף כפול אינסוף? 1 או 0?

1

1. זה מצטמצם. צמצום אף פעם לא הופך ל0

שואל השאלה:
אבל אם 1 חלקי אינסוף זה 0, לא משנה במה נכפיל, זה ישאר 0... לא?

1

וואי אני כבר לא זוכר איך עושים... אבל להבנתי זה לא מוגדר.

וואו את פותחת פה תחום בעייתי ואת חושבת שרוב האנשים פה יודעים בכלל מה עושים בחילוק ב-0 או באינסוף p:.
אז ככה, דבר ראשון תזכרי שמתמטית לא מוגדר דבר כזה חילוק ב-0 או המספר אינסוף, אי אפשר לעשות איתו פעולות של כפל וחילוק עם מספרים רגילים.
כן אבל אפשר להכנס לגבולות ואני מניח שזה מה שאת אומרת, ובמקרה כזה, אינסוף חלקי אינסוף זה משהו לא ידוע אף פעם כי זה יכול להיות כל מספר שאת רוצה (ככה גם 0 כפול אינסוף או 0 חלקי 0)

הקטע ב'אינסוף' הוא שהוא מספר לא מוגדר. הוא בעצם סוג של נעלם, את לא יודעת מה הוא המספר המדויק שאת מתכוונת אליו כשאת אומרת 'אינסוף'. אינסוף יכול להיות 999,999,999 וגם יכול להיות 0, תלוי מה הוא אינסוף מבחינתך. ברגע שאת מחלקת 1 ב - 0, אוטומטית הביטוי הופך לביטוי חסר משמעות, וזה לא משנה אם תכפילי את הבח"מ ב - 0. הוא עדיין יישאר בח"מ. ולכן, אני חושבת שהביטוי הזה הוא בלתי פתיר כל עוד את לא קובעת תחום הצבה: אינסוף שונה מאפס.
- אני לא בטוחה במה שאני אומרת, אבל ככה אני רואה את זה -

שואל השאלה:
אבל נגיד כשמחשבים אסימפטוטה אופקית תמיד כשיש מספר כלשהו חלקי אינסוף מתייחסים אליו כמו 0, אז *כן* עושים איתו פעולות חילוק.
למה?

המגיבה האחרונה, אני מצטער, אבל מה שאת אומרת שגוי.
999,999,999 רחוק מאינסוף ממש כמו 1 מתמטית. אינסוף זה לא נעלם, זה משהו שגדול מכל מספר. קשה להסביר פה את הקונספט כי יש לו כל כך הרבה פנים.

אסימפטוטה זה בעצם גבול, ולכן יש כן חוקי גבולות מיוחדים שאפשר להמיר אותם. לדוגמה יש חוק כזה:
תהיינה 2 פונקציות (f (x),g (x מוגדרות מאיזושהיא נקודה והלאה. נניח lim f (x) הוא מספר קבוע ו- lim g (x)=infinity אזי lim f/g = 0

נכון שלזה בעצם התכוונת?

בעצם אינטואיטיבית מה שאמרתי נראה כאילו "מספר חלקי אינסוף זה 0", זה המשמעות האינטואיטיבית, אבל סך הכל אין באמת דבר כזה חילוק במספר שנקרא אינסוף.

מבינה?

1x1 יהיה תמיד אחד זה לא משתנה

אבל אם נכפיל אינסוף באינסוף זה יהיה אינסוף בריבוע
=>
אז יהיה מספר יותר גדול מהאינסוף
=>
fuck

האמת היא שאינסוף כפול אינסוף (בגבולות) זה אינסוף, ובעוצמות זה האינסוף הגדול יותר מבין מה שכפלתי

שוב ויותר "לאט"?

מבחינה של גבולות, אם יש לי 2 פונקציות ששואפות לאינסוף אז גם המכפלה שלהן שואפת לאינסוף ("אינסוף כפול אינסוף זה אינסוף")

מבחינה של עוצמות, כלומר אינסוף בתור גודל של כמה איברים יש בקבוצה מסוימת לדוגמה, אז יש אינסופים שגדולים מאינסוף, וכשאתה כופל 2 אינסופים כאלה, התוצאה זה האינסוף הגדול מביניהם.

לא כל פונקציה שואפת לאינסוף? הרי ניתן להמשיך כל פונקציה ללא עצירה.
y=x+1
(2,3)
(3,4)
(4,5)
...

שואל השאלה:
ואם זו פונקציה שמוגדרת בתחום שבין מינוס 8 ל-8?
* לא קשורה אבל הרגשתי צורך *

כתוב בגוגל y=1/x ותראה מה יוצא לך. פונקציה שב-xים גדולים הולכת ושואפת ל-0. האמת זה הגיוני, לא? כי אם תתן לי מספר מאוד גדול, אז 1 חלקי x רק ילך ויקטן. מבין? לא כל פונקציה שואפת לאינסוף, ישרים לא קבועים כן, אבל לא כל פונקציה.

בטוח שיש דבר כזה xים גדולים? לא "חוקי" לדעתי.

לא ייתכן אינסוף ששואף לאפס? כמו מספר אינסופי קטן? שקטן וקטן...

אם אראה לך את ההוכחה הפורמלית אני חושב שתברח.

בכל מקרה אצרף אותה פה:
הגדרה- נגיד ש- f (x) שואפת ל-0 כש- x שואף לאינסוף אם לכל אפסילון>0 קיים x שלכל x>x מתקיים ש- |f (x)| קטן מאפסילון.
אכן, יהי אפסילון גדול מ-0, אזי נסתכל על x=1/epsilon ואז התנאי מתקיים
משל


אם אתה באמת רוצה הסבר של מה שהלך פה, אתה יכול לשאול.

זאת הייתה הוכחה ש- y=1/x שואפת ל-0 כש- x שואף לאינסוף. ^^

עכשיו, לגבי אינסוף ששואף ל-0. מה זה אומר? איך אתה מגדיר דבר כזה? כשאני מדבר על משהו ששואף אני מדבר על פונקציה או סדרה, והיא שואפת למספר או לאינסוף (או שהיא בכלל לא שואפת). מה זה אינסוף ששואף ל-0? איך תגדיר דבר כזה

זה אומר את מה שהוכחת.

אתה יכול להמשיך, מילים ארוכות זה לא כזה מפחיד.

אני סיימתי, אלא אם יש לך עוד שאלות

"אם אתה באמת רוצה הסבר של מה שהלך פה, אתה יכול לשאול."

מה ש"עוזר" כותב פה נכון בגדול, אבל כשכתב שבמקרה של גבולות "אינסוף חלקי אינסוף זה משהו לא ידוע אף פעם", זה לא נכון.
הוא צודק לחלוטין שאי אפשר לבצע פעולות עם "אינסוף", ולכן מה שעושים זה פעולות עם משתנים ששואפים לאינסוף, ובמקרה כזה יש עניין של סדר גודל של השאיפה לאינסוף, והתוצאה יכולה בהחלט להיות מוגדרת.
למשל, אם מחשבים lim (1*x/x) כאשר x->∞, התוצאה של הגבול היא 1. אבל הגבול lim (1*x²/x) ישאף לאינסוף. בשני המקרים אפשר להגיד (בצורה מאוד לא מדוייקת) שעשינו "1 חלקי אינסוף כפול אינסוף".

מה שאמרת נכון, אך כשאמרתי "אינסוף חלקי אינסוף זה משהו שלא ידוע אף פעם" התכוונתי לומר "כשאומרים לך אינסוף חלקי אינסוף אתה לא יכול פשוט ככה לדעת את התשובה משום שכל מספר יכול לקיים את זה", ואני חושב שאפילו טרחתי לציין את זה. אכן הייתי צריך לשנות קצת את הניסוח שלי.

סליחה, לא אחזור על הטעות בשנית.
אבל זה בסדר, העיקר שעלה לך הביטחון העצמי.

ול- p:, תבין שמתמטיקאים הם אנשים מאוד רגורוזיים, הם רוצים שהכל יהיה מוגדר אצלם כמו שצריך כך שלא יוכל להשתמע ל-2 פנים. הם גם לא רוצים הוכחות של אינטואיציה, הם צריכים הוכחות שבאמת כל שלב מוסכם לחלוטין שנכון לפי כללים קודמים שנקבעו ורק אז הם משוכנעים. הם ככה משום שהרבה משפטים שגויים הוכחו בעבר על סמך "אינטואיציה" ויש מקומות שהם לא אינטואיטיביים ובהם קל ליפול.

לכן גם שאיפה זה משהו שהם צריכים הגדרה מאוד ספציפית ומדויקת.
יש הגדרה כללית שמאוד דומה למה שאני הולך להגיד עכשיו, אבל אני אסביר רק את ההגדרה ל-"שאיפה ל-0 כש-x שואף לאינסוף". אז ככה, תהיי פונקציה f (x), מתי תגיד שהיא שואפת ל-0 באיקסים גדולים? מתמטיקאים אומרים ככה: אם לכל מספר קרוב ל-0, לא חשוב כמה קרוב, תוכל למצוא נקודה בה הפונקציה מתקרבת עוד יותר ל-0.
לדוגמה במקרה של f (x)=1/x, גם אם תתן לי את המספר epsilon=0.000001 שהוא מאוד קרוב ל-0, אם אקח את הנקודה x=10000000 אז אחריו הפונקציה עוד יותר קרובה ל-0 מ-0.000001.

מתמטית, לכל אפסילון גדול מ-0 (לכל מרחק שתתן לי) קיים x (קיימת נקודה) שלכל x>x (שאחרי הנקודה הזאת), f (x)|<epsilon| (הפונקציה יותר קרובה ל-0 מאשר המרחק הזה שנתת לי)

אז קח את f (x)=1/x, ותתן לי מספר ממש ממש קטן שקרוב ל-0, epsilon, אז שים לב שתמיד אחרי x=1/epsilon, הפונקציה יותר קרובה ל-0 מאפסילון, לא חשוב כמה הוא קטן! לכן יש שאיפה ל-0, וזה מה שהוכחתי


בסדר?

אם הבנתי נכון, זה יכול להיות: x>epsilon?
ואם דבריי כה טיפשיים, אני לא רוצה להמשיך את זה.

שוב, אפסילון זה מרחק מ-0. אתה רוצה שלא חשוב כמה קטן אפסילון (כמה קטן המרחק מ-0), אני אמצא לך נקודה בה הפונקציה עוד יותר קרובה ל-0.
תן לי אפסילון ממש קטן, נגיד 0.000000000001, אני טוען שיש נקודה שאחריה הפונקציה יותר קטנה מזה (המרחק שלה מ-0 יותר קטן מ-0.000000000001). אם ניקח את x=1000000000000 אז באמת אחרי x הזה, תמיד הפונקציה יותר קרובה ל-0. זה עוזר להבין?