מותר לי להיכנס לבית הכנסת בכיפור אם אני במחזור?

כן, מותר תמיד להיכנס, גם במחזור.
(מותר אפילו לנשק ספר תורה (כי תשמישי קדושה לא מקבלים טומאה)).

מותר אין שוה בעיה רק יש נוהגים לא להסתכל על ספר תורה בזמן כזה

מותר לבית כנסת אבל לא לשירותים של הבית כנסת.