תשובה אחת
כשמעגל חוסם משולש זה בעצם אומר שכל שלושת קודקודיו של המשולש נמצאים על המעגל.
כל משולש ניתן לחסימה על ידי מעגל אחד ויחיד, ומרכז המעגל הזה נמצא בנקודת מפגש האנכים האמצעיים לצלעות המשולש.
כדי למצוא משוואת מעגל אנחנו צריכים לדעת את רדיוס המעגל ואת נקודת המרכז שלו.
נתחיל מלמצוא את המרכז:
נשתמש במשפט הזה, שמרכז המעגל נמצא בנקודת מפגש האנכים האמצעיים לצלעות.
נבחר שתי צלעות מהמשולש (עדיף, כמובן, לבחור כאלה שאנחנו יודעים את המשוואה שלהן) ונמצא את האנכים האמצעיים לצלעות האלה.
האנכים האמצעיים יתקבלו גם הם בצורת משוואת ישר, ונקודת החיתוך של הישרים האלה תהיה מרכז המעגל.
איך מוצאים אנך אמצעי?
קודם כל את חייבת לדעת את קודקודי המשולש.
אחר כך נמצא משוואות ישר של שתיים מהצלעות (איזה שנבחר, זה לא משנה):
את השיפוע מחשבים בתור היחס בין הפרש ערכי הy להפרש ערכי הx: m= (y1-y2)/ (x1-x2)
משוואת הישר היא משוואה מהצורה y=mx+n. כדי למצוא את n נציב נקודה שאנחנו מכירים על הישר ובתור m נציב את השיפוע שמצאנו. אנחנו יכולים לבחור אחד משני קודקודי המשולש בשביל זה.
עכשיו נמצא את אמצעי שתי הצלעות שחישבנו את משוואתן קודם:
ערך הy של אמצע צלע ab = ממוצע ערכי הy של נקודה a ונקודה b
ערך הx של אמצע צלע ab = ממוצע ערכי הx של נקודה a ונקודה b
מעולה!
עכשיו איך מוצאים אנך? אנחנו יודעים שמכפלת שיפועי ישרים מאונכים שווה למינוס 1.
עבור כל צלע נמצא את שיפוע הישר המאונך.
השיפוע נותן לנו אינסוף ישרים מאונכים. כדי למצוא את הישר האחד והיחיד שהוא האנך האמצעי, נציב במשוואה הכללית שמצאנו (עם השיפוע) את נקודת אמצע הצלע שמצאנו קודם, וכך נמצא את משוואת האנך האמצעי.
אחרי שעשינו את זה עבור שתי הצלעות, קיבלנו בעצם משוואות של שני אנכים אמצעיים.
כדי לבדוק איפה הם נפגשים נשווה את משוואות הישר שלהם, וככה נמצא את ערך ה-x של נקודת המפגש.
לאחר שמצאנו את x נציב אותו באחת משתי המשוואות הראשונות (אנחנו יכולים לבחור איזו שנרצה) ונמצא את ערך ה-y.
הנקודה הזאת היא מרכז המעגל החוסם את המשולש.
נעבור לחישוב הרדיוס:
הרדיוס הוא המרחק בין מרכז המעגל לכל אחת מהנקודות על המעגל. אנחנו מכירים 3 נקודות על המעגל: שלושת קודקודי המשולש. נחשב את המרחק בעזרת הנוסחה של d או משפט פיתגורס, וכך נמצא את הרדיוס.
עכשיו יש לנו את כל הנתונים!
אנחנו יודעים שמשוואת מעגל שמרכזו (a,b) ורדיוסו r נראית כך:
(x-a)^2+ (y-b)^2=r^2
נציב את הנתונים שמצאנו בנוגע לנקודת מרכז המעגל ורדיוסו, וכך נקבל את משוואות המעגל.
בהצלחה!
כל משולש ניתן לחסימה על ידי מעגל אחד ויחיד, ומרכז המעגל הזה נמצא בנקודת מפגש האנכים האמצעיים לצלעות המשולש.
כדי למצוא משוואת מעגל אנחנו צריכים לדעת את רדיוס המעגל ואת נקודת המרכז שלו.
נתחיל מלמצוא את המרכז:
נשתמש במשפט הזה, שמרכז המעגל נמצא בנקודת מפגש האנכים האמצעיים לצלעות.
נבחר שתי צלעות מהמשולש (עדיף, כמובן, לבחור כאלה שאנחנו יודעים את המשוואה שלהן) ונמצא את האנכים האמצעיים לצלעות האלה.
האנכים האמצעיים יתקבלו גם הם בצורת משוואת ישר, ונקודת החיתוך של הישרים האלה תהיה מרכז המעגל.
איך מוצאים אנך אמצעי?
קודם כל את חייבת לדעת את קודקודי המשולש.
אחר כך נמצא משוואות ישר של שתיים מהצלעות (איזה שנבחר, זה לא משנה):
את השיפוע מחשבים בתור היחס בין הפרש ערכי הy להפרש ערכי הx: m= (y1-y2)/ (x1-x2)
משוואת הישר היא משוואה מהצורה y=mx+n. כדי למצוא את n נציב נקודה שאנחנו מכירים על הישר ובתור m נציב את השיפוע שמצאנו. אנחנו יכולים לבחור אחד משני קודקודי המשולש בשביל זה.
עכשיו נמצא את אמצעי שתי הצלעות שחישבנו את משוואתן קודם:
ערך הy של אמצע צלע ab = ממוצע ערכי הy של נקודה a ונקודה b
ערך הx של אמצע צלע ab = ממוצע ערכי הx של נקודה a ונקודה b
מעולה!
עכשיו איך מוצאים אנך? אנחנו יודעים שמכפלת שיפועי ישרים מאונכים שווה למינוס 1.
עבור כל צלע נמצא את שיפוע הישר המאונך.
השיפוע נותן לנו אינסוף ישרים מאונכים. כדי למצוא את הישר האחד והיחיד שהוא האנך האמצעי, נציב במשוואה הכללית שמצאנו (עם השיפוע) את נקודת אמצע הצלע שמצאנו קודם, וכך נמצא את משוואת האנך האמצעי.
אחרי שעשינו את זה עבור שתי הצלעות, קיבלנו בעצם משוואות של שני אנכים אמצעיים.
כדי לבדוק איפה הם נפגשים נשווה את משוואות הישר שלהם, וככה נמצא את ערך ה-x של נקודת המפגש.
לאחר שמצאנו את x נציב אותו באחת משתי המשוואות הראשונות (אנחנו יכולים לבחור איזו שנרצה) ונמצא את ערך ה-y.
הנקודה הזאת היא מרכז המעגל החוסם את המשולש.
נעבור לחישוב הרדיוס:
הרדיוס הוא המרחק בין מרכז המעגל לכל אחת מהנקודות על המעגל. אנחנו מכירים 3 נקודות על המעגל: שלושת קודקודי המשולש. נחשב את המרחק בעזרת הנוסחה של d או משפט פיתגורס, וכך נמצא את הרדיוס.
עכשיו יש לנו את כל הנתונים!
אנחנו יודעים שמשוואת מעגל שמרכזו (a,b) ורדיוסו r נראית כך:
(x-a)^2+ (y-b)^2=r^2
נציב את הנתונים שמצאנו בנוגע לנקודת מרכז המעגל ורדיוסו, וכך נקבל את משוואות המעגל.
בהצלחה!
באותו הנושא: