איך זה שיש לי יורו שכתוב עליו שמות של מדינות אם אפשר להשתמש ביורו בכל אירופה?

כן.
"נותנים כבוד" לכמה ממדינות גוש היורו, אבל אפשר להשתמש בכל מקום.

יורו זה המטבע הרשמי של כלל המדינות באיחוד האירופאי, כאשר בחלק קטן מהמדינות גם משתמשים במטבע מקומי, אבל זה רק בחלק מהמדינות, וגם אז, הם מקבלים יורו

ובמטבעות עם השם של המדינות ניתן להשתמש גם בשאר המדינות?

אני רואה שהתשובה המקורית שלי לא מדויקת.
אם יש לך יורו אז לא משנה איזה מדינה רשומה עליו, בכל מדינות גוש היורו תוכל לשלם איתו.
במדינות אחרות מסביב עקרונית לא מקבלים יורו, אבל יכולים להיות חנויות/מסעדות שיקבלו יורו בכל זאת. זה לא מומלץ לשלם ככה כי לרוב יוצא יקר. בכל מקרה תמיד אפשר להמיר, בכל מדינה (לא רק באירופה) את היורו למטבע מקומי.
אם יש לך מטבע מקומי שהוא לא יורו,, סביר להניח שתוכל להשתמש רק במדינה שלו, או להמיר במדינות אחרות.