שמעתי על מישהו שיש לו אזרחות אמריקאית ואין לו אזרחות ישראלית והוא גר בארץ כבר שנים, איך זה יכול להיות? הוא מקבל שירותים מהמדינה?

אפשרי למי שמוכר כתושב קבע ובעל תעודת זהות.
במצב זה יש את כל הזכויות פרט להצבעה (לפחות בזמנו)
יש ארצות שישראל מכל מיני סיבות לא הסכימה לתת לאזרחיהן אזרחות כפולה (כמו קנדה, אבל ארה"ב אפשר).

שואל השאלה:
תעודת זהות זה לא אזרחות?

לא בהכרח. זו תעודה מזהה כמו רשיון נהיגה בארה"ב שמשמש אמצעי זיהוי מקובל.
בעל מס' זהות יכול להיות גם תושב ארעי או קבע. יש להם זכויות וחובות פרט בעיקר לזכות הצבעה.