תשובה אחת
נגזרת של פונקציה היא שיפוע המשיק בנקודה, אני אתן דוגמה: לפונקציה y=x^2
נגזרתה תהיה y' = 2x
אראה איך הגיעו לכך, ניתן לעשות זאת עבור כל פונקציה, זה פשוט יהיה קצת יותר מסובך.
אם תסתכלי על הגרף של הפונקציה (מצורף קישור 1) תראי שכל נקודה היא בעלת שיפוע שונה, ולכן זה לא כמו פונקציה קווית שכל נקודה על הגרף היא בעלת אותו שיפוע, ולכן זה קצת יותר מסובך למצוא את השיפוע בנקודה מסוימת.
אם נבחר נקודה כלשהי, נבחר את הנקודה x = x (שימי לב ש- x יכול להיות כל ערך) ערך ה- y כאמור יהיה x^2 (אם נציב בפונקציה x = x נקבל כי y=x^2)
כלומר נקבל את הנקודה (x,x^2) ונקרא לה נקודה a.
נבחר נקודה נוספת, נקרא לה נקודה b וגם היא תהיה נקודה על הפונקציה, נניח שנקודה b תהיה מימין ל- a, אם נעביר קו מנקודה a לנקודה b נקבל מיתר, קטע בין שתי נקודות על הפונקציה, שימי לב שככל שנקודה b תהיה קרובה לנקודה a כך שיפוע המיתר יהיה יותר קרוב לשיפוע המשיק בנקודה a (את יכולה לנסות לצייר את הנקודה b קרובה יותר לנקודה a בכל פעם ולמתוח קו בין הנקודה a לנקודות b שציירת ולראות כי זה קורה), כעת נגדיר את ערך האיקס של
נקודה b, נסמן bx = x+t (ערך האיקס של b הוא האיקס של נקודה a ועוד t כלשהו)
אם נציב x = x+t בפונקציה נמצא כי y = (x+t)^2 כלומר נקודה b היא (x+t, (x+t)^2)
כעת יש לנו שתי נקודות על הפונקציה a ו- b כך שערך ה- x של נקודה b דומה מאוד לערך ה- x של נקודה a רק עם תוספת t.
אפשר למצוא את השיפוע של המיתר העובר בין הנקודות a ו- b על ידי משוואת שיפוע בין שתי נקודות, שהוא:
m = y1-y2 / x1-x2
נציב את נקודות a ו- b
(a (x, x^2
(b (x+t, (x+t)^2
m = (x+t)^2-x^2 / x+t-x
נפתח סוגריים במונה, במכנה x יצטמצם
m = x^2+2xt+t^2-x^2 / t
x^2 מצטמצם
m = t^2+2xt / t
t יצטמצם כיוון שניתן להוציא גורם משותף במונה, ולצמצם עם המכנה.
לבסוף נקבל:
m = t+2x
מצאנו כי השיפוע של הקו הישר העובר דרך a ו- b הוא 2x+t
אך מה יקרה אם t (שהוא ההבדל בין ערכי ה- x של הנקודות יהיה כל כך קטן, לדוגמה 1/10000000 = t או אפילו 1 חלקי אינסוף שזה מספר כל כך קטן עד שהנקודה b כמעט מתלכדת עם הנקודה a לנקודה אחת.
אז אפשר כאילו "להתעלם" מ- t ולהגיד שהשיפוע הוא בעצם רק 2x ולא 2x+t
כעת מכיוון שהנקודה a הייתה נקודה כללית שערך האיקס שלה היה פשוט x ניתן להציב כל מספר ולגלות מהו השיפוע באותה נקודה (שיפוע המשיק)
כלומר הגענו לביטוי כללי שבכל נקודה על הפונקציה y=x^2 שיפוע המשיק בנקודה הוא 2x, ניתן לעשות זאת עם כל פונקציה אך האלגברה עלולה להיות מסובכת, ואכן כך הוכיחו נגזרת של מנה, מכפלה, שורש, וכל נגזרת שמלמדים בבתי הספר בצורה טכנית.
לשאלתך הפונקציה y = 4x^2
ניתן להגדיר נקודה a שערך האיקס שלה הוא x ערך ה- y יהיה 4x^2
כלומר נקודה a תהיה (x,4x^2)
נגדיר נקודה b שערך האיקס שלה יהיה x+t
כלומר ערך ה- y יהיה y = 4 (x+t)^2
את יכולה להמשיך לבד ולהציב את הערכים במשוואה למציאת שיפוע בין שתי נקודות ולראות בעצמך כי תגידי לכך שהשיפוע הוא 8x.
אם תרצי הסבר נוסף בעניין אני אשמח לתת אותו.
נגזרתה תהיה y' = 2x
אראה איך הגיעו לכך, ניתן לעשות זאת עבור כל פונקציה, זה פשוט יהיה קצת יותר מסובך.
אם תסתכלי על הגרף של הפונקציה (מצורף קישור 1) תראי שכל נקודה היא בעלת שיפוע שונה, ולכן זה לא כמו פונקציה קווית שכל נקודה על הגרף היא בעלת אותו שיפוע, ולכן זה קצת יותר מסובך למצוא את השיפוע בנקודה מסוימת.
אם נבחר נקודה כלשהי, נבחר את הנקודה x = x (שימי לב ש- x יכול להיות כל ערך) ערך ה- y כאמור יהיה x^2 (אם נציב בפונקציה x = x נקבל כי y=x^2)
כלומר נקבל את הנקודה (x,x^2) ונקרא לה נקודה a.
נבחר נקודה נוספת, נקרא לה נקודה b וגם היא תהיה נקודה על הפונקציה, נניח שנקודה b תהיה מימין ל- a, אם נעביר קו מנקודה a לנקודה b נקבל מיתר, קטע בין שתי נקודות על הפונקציה, שימי לב שככל שנקודה b תהיה קרובה לנקודה a כך שיפוע המיתר יהיה יותר קרוב לשיפוע המשיק בנקודה a (את יכולה לנסות לצייר את הנקודה b קרובה יותר לנקודה a בכל פעם ולמתוח קו בין הנקודה a לנקודות b שציירת ולראות כי זה קורה), כעת נגדיר את ערך האיקס של
נקודה b, נסמן bx = x+t (ערך האיקס של b הוא האיקס של נקודה a ועוד t כלשהו)
אם נציב x = x+t בפונקציה נמצא כי y = (x+t)^2 כלומר נקודה b היא (x+t, (x+t)^2)
כעת יש לנו שתי נקודות על הפונקציה a ו- b כך שערך ה- x של נקודה b דומה מאוד לערך ה- x של נקודה a רק עם תוספת t.
אפשר למצוא את השיפוע של המיתר העובר בין הנקודות a ו- b על ידי משוואת שיפוע בין שתי נקודות, שהוא:
m = y1-y2 / x1-x2
נציב את נקודות a ו- b
(a (x, x^2
(b (x+t, (x+t)^2
m = (x+t)^2-x^2 / x+t-x
נפתח סוגריים במונה, במכנה x יצטמצם
m = x^2+2xt+t^2-x^2 / t
x^2 מצטמצם
m = t^2+2xt / t
t יצטמצם כיוון שניתן להוציא גורם משותף במונה, ולצמצם עם המכנה.
לבסוף נקבל:
m = t+2x
מצאנו כי השיפוע של הקו הישר העובר דרך a ו- b הוא 2x+t
אך מה יקרה אם t (שהוא ההבדל בין ערכי ה- x של הנקודות יהיה כל כך קטן, לדוגמה 1/10000000 = t או אפילו 1 חלקי אינסוף שזה מספר כל כך קטן עד שהנקודה b כמעט מתלכדת עם הנקודה a לנקודה אחת.
אז אפשר כאילו "להתעלם" מ- t ולהגיד שהשיפוע הוא בעצם רק 2x ולא 2x+t
כעת מכיוון שהנקודה a הייתה נקודה כללית שערך האיקס שלה היה פשוט x ניתן להציב כל מספר ולגלות מהו השיפוע באותה נקודה (שיפוע המשיק)
כלומר הגענו לביטוי כללי שבכל נקודה על הפונקציה y=x^2 שיפוע המשיק בנקודה הוא 2x, ניתן לעשות זאת עם כל פונקציה אך האלגברה עלולה להיות מסובכת, ואכן כך הוכיחו נגזרת של מנה, מכפלה, שורש, וכל נגזרת שמלמדים בבתי הספר בצורה טכנית.
לשאלתך הפונקציה y = 4x^2
ניתן להגדיר נקודה a שערך האיקס שלה הוא x ערך ה- y יהיה 4x^2
כלומר נקודה a תהיה (x,4x^2)
נגדיר נקודה b שערך האיקס שלה יהיה x+t
כלומר ערך ה- y יהיה y = 4 (x+t)^2
את יכולה להמשיך לבד ולהציב את הערכים במשוואה למציאת שיפוע בין שתי נקודות ולראות בעצמך כי תגידי לכך שהשיפוע הוא 8x.
אם תרצי הסבר נוסף בעניין אני אשמח לתת אותו.
קישורים מצורפים:
באותו הנושא: