7 תשובות
כמה שווה הy ביחס לx
בגאומטריה, שיפוע של ישר מתאר את עוצמת התלילות שלו. ערך (מוחלט) גדול מצביע על תלילות גדולה. השיפוע מוגדר כיחס בין ההפרש האנכי בין שתי נקודות על הישר להפרש האופקי בין אותן נקודות.
שיפוע יכול להיות חיובי, שלילי, אפס או לא מוגדר. בישר הנמצא במערכת צירים קרטזית דו-ממדית, שיפוע חיובי משמעו שכאשר ערך ה-x גדל גם ערך ה-y גדל ("עלייה"). שיפוע שלילי משמעו שכאשר ערך ה-x גדל ערך ה-y קטן ("ירידה"). שיפוע שערכו אפס משמעו שאין שיפוע, כלומר מדובר בקו אופקי המקביל לציר ה-x. שיפוע לא מוגדר משמעו שמדובר בקו אנכי המקביל לציר ה-y.
**נלקח מוויקיפדיה**
שיפוע יכול להיות חיובי, שלילי, אפס או לא מוגדר. בישר הנמצא במערכת צירים קרטזית דו-ממדית, שיפוע חיובי משמעו שכאשר ערך ה-x גדל גם ערך ה-y גדל ("עלייה"). שיפוע שלילי משמעו שכאשר ערך ה-x גדל ערך ה-y קטן ("ירידה"). שיפוע שערכו אפס משמעו שאין שיפוע, כלומר מדובר בקו אופקי המקביל לציר ה-x. שיפוע לא מוגדר משמעו שמדובר בקו אנכי המקביל לציר ה-y.
**נלקח מוויקיפדיה**
גובה המדרגה (y) חלקי רוחב המדרגה (x).
זה הזווית וקצב ההתקדמות בגרף ובאופן כללי זה המקדם ה- m.
זה הזווית וקצב ההתקדמות בגרף ובאופן כללי זה המקדם ה- m.
השיפוע של הפונקציה ה -m
אנונימית
שואל השאלה:
איך אני יכולה לדעת מה השיפוע שלי?
איך אני יכולה לדעת מה השיפוע שלי?
אנונימית
בהתחלה אנחנו מדברים על פונקציות קוויות, הן בעצם מגדירות לנו ישר.
כאשר שיפוע של ישר באופן אינטואיטיבי היה "מד לכמה שהישר תלול". כלומר כמה הy משתנה בייחס לשינוי בx.
וכל שיפוע של ישר הוגדר להיות היחס בין פרש ערכי y להפרש ערכי x של כל 2 נקודות בגרף.
ובהצגה של פונקציאה לינארית מהצורה: y=mx+n עבור m,n קבועים כלשהם, m הוא השיפוע של הישר.
אבל במתמטיקה היה שימושי מכל מיני סיבות לדבר גם על שיפועים של פונקציות שהן לא לינאריות.
וכאן אנחנו חושבים על זה בתור שיפוע של ישר המשיק לגרף הפונקציה.
קודם הגדרנו שיפוע על ידי 2 נקודות על הישר.
אבל אנחנו לכאורה טיפה בבעיה:
איך בכלל אפשר לדבר על שיפוע של פונקציה כשכל 2 נקודות שניקח יכולות לתת לנו שיפוע שונה?
פותרים את הבעיה הזאת ככה:
אנו רוצים למצוא שיפוע בנקודה מסויימת שהרי בכל נקןדה השיפונ יכול להיות שונה.
אז לוקחים 2 נקודות על הפונקציה שהנקודה בינהן ובודקים מה השיפוע של הישר העובר דרכן.
וזה בערך השיפוע בנקודה.
אבל לא מספיק לנו בערך, אנחנו רוצים בדיוק.
אז לוקחים עוד 2 נקודות שהנקודה בינהן והן עוד יותר קרובות אליה מה2 הקודמות.
ושוב מחשבים את השיפוע.
וקיבלנו משהו יותר מדוייק בתקווה.
וזה שוב לא מספיק לנו, כי אנחנו רוצים משהו מדוייק לחלוטין.
אז פשוט חוזרים על התהליך הזה אינסוף פעמים כך שהמרחק בין שתי הנקודות שואף לאפס.
הביטוי שחישוב השיפוע שאנחנו עושים לכל זוג נקודות מתקרב אליו, כלומר הגבול של כל השיפועים הללו (אם בכלל קיים) מוגדר להיות השיפוע של הפונקתיה בנקודה!
ואם הפונקציה מה שנקרא "גזירה" אז הגבול הזה קיים והוא יחיד ומדוייק וכל מה שרצינו!
יש למען האמת כמה הגדרות שקולות לשיפוע של פונקציה בנקודה אבל כל אלה כולל זו שאני רשמתי אבל זה סך הכל פנים שונות של אותו מטבע. כולן מדברות על אותו דבר וכולן נותנות אותה תוצאה.
אני מדגיש את זה כי ייתכן שאת תקראי איפשהו הגדרה שונה וזה בסדר, היא כנראה אומרת אותו הדבר.
לשיפוע של פונקציה בנקודה אנחנו קוראים גם "נגזרת של הפונקציה בנקודה".
ולפונקציה g שכל הצבה x שלה תתן לנו את השיפוע בנקודה x של פונקציה f, נקראת "פונקציית הנגזרת של f".
או פשוט "הנגזרת של f".
כאשר שיפוע של ישר באופן אינטואיטיבי היה "מד לכמה שהישר תלול". כלומר כמה הy משתנה בייחס לשינוי בx.
וכל שיפוע של ישר הוגדר להיות היחס בין פרש ערכי y להפרש ערכי x של כל 2 נקודות בגרף.
ובהצגה של פונקציאה לינארית מהצורה: y=mx+n עבור m,n קבועים כלשהם, m הוא השיפוע של הישר.
אבל במתמטיקה היה שימושי מכל מיני סיבות לדבר גם על שיפועים של פונקציות שהן לא לינאריות.
וכאן אנחנו חושבים על זה בתור שיפוע של ישר המשיק לגרף הפונקציה.
קודם הגדרנו שיפוע על ידי 2 נקודות על הישר.
אבל אנחנו לכאורה טיפה בבעיה:
איך בכלל אפשר לדבר על שיפוע של פונקציה כשכל 2 נקודות שניקח יכולות לתת לנו שיפוע שונה?
פותרים את הבעיה הזאת ככה:
אנו רוצים למצוא שיפוע בנקודה מסויימת שהרי בכל נקןדה השיפונ יכול להיות שונה.
אז לוקחים 2 נקודות על הפונקציה שהנקודה בינהן ובודקים מה השיפוע של הישר העובר דרכן.
וזה בערך השיפוע בנקודה.
אבל לא מספיק לנו בערך, אנחנו רוצים בדיוק.
אז לוקחים עוד 2 נקודות שהנקודה בינהן והן עוד יותר קרובות אליה מה2 הקודמות.
ושוב מחשבים את השיפוע.
וקיבלנו משהו יותר מדוייק בתקווה.
וזה שוב לא מספיק לנו, כי אנחנו רוצים משהו מדוייק לחלוטין.
אז פשוט חוזרים על התהליך הזה אינסוף פעמים כך שהמרחק בין שתי הנקודות שואף לאפס.
הביטוי שחישוב השיפוע שאנחנו עושים לכל זוג נקודות מתקרב אליו, כלומר הגבול של כל השיפועים הללו (אם בכלל קיים) מוגדר להיות השיפוע של הפונקתיה בנקודה!
ואם הפונקציה מה שנקרא "גזירה" אז הגבול הזה קיים והוא יחיד ומדוייק וכל מה שרצינו!
יש למען האמת כמה הגדרות שקולות לשיפוע של פונקציה בנקודה אבל כל אלה כולל זו שאני רשמתי אבל זה סך הכל פנים שונות של אותו מטבע. כולן מדברות על אותו דבר וכולן נותנות אותה תוצאה.
אני מדגיש את זה כי ייתכן שאת תקראי איפשהו הגדרה שונה וזה בסדר, היא כנראה אומרת אותו הדבר.
לשיפוע של פונקציה בנקודה אנחנו קוראים גם "נגזרת של הפונקציה בנקודה".
ולפונקציה g שכל הצבה x שלה תתן לנו את השיפוע בנקודה x של פונקציה f, נקראת "פונקציית הנגזרת של f".
או פשוט "הנגזרת של f".
איך את יכולה לדעת משהו במתמטיקה?
קודם כל הכל בהתאם לתרגיל.
לפעמים את יכולה לדעת דברים באופן ישיר מההגדרה, ולפעמים את צריכה להשתמש במשפטים שהוכחת.
קודם כל הכל בהתאם לתרגיל.
לפעמים את יכולה לדעת דברים באופן ישיר מההגדרה, ולפעמים את צריכה להשתמש במשפטים שהוכחת.
באותו הנושא: