4 תשובות
אם אני לא טועה זה יוצא שאין פתרון
או איןסוף אני לא בטוחה
אני שונא שמרגילים ילדים בבית ספר לומר "אינסוף פתרונות".
זה לא מבחין בין אינסוף מקרים: למשל איקס חייב להיות בין 0 ל1, זה גם אינסוף פתרונות כי יש אינסוף ערכים בין 0 ל 1, וגם איקס חייב להיות גדול מ 7 זה אינסוף פתרונות, וגם איקס חייב להיות מספר רציונלי זה אינסוף פתרונות, ואיקס חייב להיות מספר טיבעי, ואיקס חייב להיות מספר מדומה (לאו דווקא מרוכב) זה אינסוף פתרונות..
אינסוף פתרונות לא אומר איזה פתרונות אלה, זה לא נותן הרבה מידע.
בשביל לפתור את התרגיל הזה אפשר להתייחס לשני מקרים עיקריים (ועוד מקרה קטן):
1) מקרה אחד בו 4x חיובי, שזה מתקיים כאשר x>0 ואז השוויון הוא
x^2+5<4x
ואז נקבל
x^2-4x+5<0
שנבונן באגף השמאלי(נבצע השלמה לריבוע):
x^2-4x+5=x^2-4x+4+1=(x-2)^2+1
נשים לב שיש לנו ביטוי בריבוע (x-2)^2)) שהוא אי שלילי כי כל ערך (ממשי) בריבוע הוא אי שלילי, פלוס מספר חיובי (1).
לכן הביטוי x-2)^2+1) חיובי.
אבל באי שוויון במקרה זה דרשנו x^2-4x+5<0 כלומר דרשנו שהביטוי יהיה שלילי והראנו שהוא בעצם חיובי לכל x ממשי. לכן לא קיים איקס ממשי שמקיים את הדרישה ש 4x חיובי ושמקיים |x^2+5<|4x
2) במקרה השני 4x שלילי, שזה מתקיים כאשר x<0 ואז השוויון הוא
x^2+5<-4x
ואז נקבל
x^2+4x+5<0
נתבונן באגף הימני(ושוב נבצע השלמה לריבוע):
x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1
ושוב קיבלנו ביטוי בריבוע (x+2)^2)) שהוא אי שלילי כי כל ערך (ממשי) בריבוע הוא אי שלילי, פלוס מספר חיובי (1).
לכן הביטוי x+2)^2+1) חיובי.
אבל דרשנו x^2+4x+5<0 ולכן דרשנו שהביטוי יהיה שלילי, אבל הראינו כי הוא חיובי לכל איקס ממשי. לכן לא קיים איקס ממשי שמקיים את הדרישה ש4x שלילי ושמקיים |x^2+5<|4x.
3) נשים לב שהמקרה השלישי, בו 4x=0 ואז x=0, אי השוויון גם כן לא מתקיים כיוון שאם נציב x=0 נקבל 0>5.
לסיכום, ראינו כי בכל מקרה, אין איקס שמקיים את השוויון, ולכן אין פתרונות (כלומר אין איקסים ממשיים שמקיימים את השוויון).
זה לא מבחין בין אינסוף מקרים: למשל איקס חייב להיות בין 0 ל1, זה גם אינסוף פתרונות כי יש אינסוף ערכים בין 0 ל 1, וגם איקס חייב להיות גדול מ 7 זה אינסוף פתרונות, וגם איקס חייב להיות מספר רציונלי זה אינסוף פתרונות, ואיקס חייב להיות מספר טיבעי, ואיקס חייב להיות מספר מדומה (לאו דווקא מרוכב) זה אינסוף פתרונות..
אינסוף פתרונות לא אומר איזה פתרונות אלה, זה לא נותן הרבה מידע.
בשביל לפתור את התרגיל הזה אפשר להתייחס לשני מקרים עיקריים (ועוד מקרה קטן):
1) מקרה אחד בו 4x חיובי, שזה מתקיים כאשר x>0 ואז השוויון הוא
x^2+5<4x
ואז נקבל
x^2-4x+5<0
שנבונן באגף השמאלי(נבצע השלמה לריבוע):
x^2-4x+5=x^2-4x+4+1=(x-2)^2+1
נשים לב שיש לנו ביטוי בריבוע (x-2)^2)) שהוא אי שלילי כי כל ערך (ממשי) בריבוע הוא אי שלילי, פלוס מספר חיובי (1).
לכן הביטוי x-2)^2+1) חיובי.
אבל באי שוויון במקרה זה דרשנו x^2-4x+5<0 כלומר דרשנו שהביטוי יהיה שלילי והראנו שהוא בעצם חיובי לכל x ממשי. לכן לא קיים איקס ממשי שמקיים את הדרישה ש 4x חיובי ושמקיים |x^2+5<|4x
2) במקרה השני 4x שלילי, שזה מתקיים כאשר x<0 ואז השוויון הוא
x^2+5<-4x
ואז נקבל
x^2+4x+5<0
נתבונן באגף הימני(ושוב נבצע השלמה לריבוע):
x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1
ושוב קיבלנו ביטוי בריבוע (x+2)^2)) שהוא אי שלילי כי כל ערך (ממשי) בריבוע הוא אי שלילי, פלוס מספר חיובי (1).
לכן הביטוי x+2)^2+1) חיובי.
אבל דרשנו x^2+4x+5<0 ולכן דרשנו שהביטוי יהיה שלילי, אבל הראינו כי הוא חיובי לכל איקס ממשי. לכן לא קיים איקס ממשי שמקיים את הדרישה ש4x שלילי ושמקיים |x^2+5<|4x.
3) נשים לב שהמקרה השלישי, בו 4x=0 ואז x=0, אי השוויון גם כן לא מתקיים כיוון שאם נציב x=0 נקבל 0>5.
לסיכום, ראינו כי בכל מקרה, אין איקס שמקיים את השוויון, ולכן אין פתרונות (כלומר אין איקסים ממשיים שמקיימים את השוויון).
אגב, כל המספרים המדומים מהצורה ai כאשר a>1 או a<-1 מקיימים את אי השוויון.
הבעיה במרוכבים זה שלא מוגדר עליהם יחס של סדר (גדול/קטן), אבל הפיתרונות בהצבה של מספרים מדומים הם ממשיים תמיד (זה לא יעבוד למרוכבים באופן כללי) ועל הממשיים כן מוגדר יחס סדר ולכן זה בערך כן פיתרון.
הבעיה במרוכבים זה שלא מוגדר עליהם יחס של סדר (גדול/קטן), אבל הפיתרונות בהצבה של מספרים מדומים הם ממשיים תמיד (זה לא יעבוד למרוכבים באופן כללי) ועל הממשיים כן מוגדר יחס סדר ולכן זה בערך כן פיתרון.
באותו הנושא: