בונים מלבן מחוט שאורכו 36 סמ

צלע אחת x אז יש צלע נוספת x ולכן הצלע השנייה היא
36-2x חלקי 2 כלומר 18 פחות x.
הפונקציה לשטח היא 18x-x^2 וכדי למצוא את המקסימום את גוזרת ומוצאת נקודת מקסימום.
הנגזרת זה 18-2x אז x=9 מציבים בפונקציה ויוצא 162-81 = 81 זה השטח המקסימלי

1) xy=s
2) 2x+2y=36
x+y=18
y=18-x
1) (s=x*(18-x
זאת הפונקציה
תחום ההגדרה זה חובה שאיקס וואי יהיו גדולים מאפס כי אלה צלעות והן לא יכולות להיות חיוביות.
x>0
0< שמונה עשרה פחות איקס
18>x
אז איקס בין אפס ל18.
שטח מקסימלי זה לגזור ולהשוות ל0, כמו למצוא נקודות קיצון.

נסמן: צלע אחת של המלבן ששווה ל x.
צלע שנייה של הצלע שווה ל a. בגלל שבנו המלבן מהחוט, היקף המלבן שווה לאורך החוט:
2x + 2a = 36
2a = 36 - 2x
a = 18 - x

שטח מלבן זה אורך כפול רוחב, לכן הפונקציה שמתארת את שטחו של המלבן היא:
y = x(18 - x) = 18x - x^2

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא x בין 0 ל 18. משום שעבור כל איקס מתחת לאפס השטח יהיה שלילי(וזה לא הגיוני כי שטח לא יכול להיות שלילי), ועבור כל איקס מעל 18 השטח יהיה שלילי.

על מנת למצוא את שטחו המקסימלי של המלבן, נגזור את הפונקציה שמתארת את שטח המלבן, נשווה לאפס, ונציב את ערך האיקס שקיבלנו בפונקציה שכתבנו:
y' = 18 - 2x
נשווה ל 0
y' =0
0 = 18 - 2x
2x = 18 /:2
x = 9

נציב x=9 על מנת למצוא את שטחו המקסימלי של המלבן:
y(9) = 18 * 9 - 9^2 =
162 - 81 = 81

נגזור את הפונקציה פעם שנייה על מנת לוודא שעבור x = 9 שטח המלבן אכן מקסימלי:
y'' = -2<0
max.

עכשיו ניתן להגיד בוודאות כי שטחו המקסימלי של המלבן הוא 81 סמ"ר