17 תשובות
לא. כי בסופו של דבר אם הוא כל פעם חותך חצי את המרחק הוא בחיים לא ישלים עוד 5 קילומטר כמה מרחק כל פעם קטן ולא גדל כדי להשלים 5.
בסופו של דבר הוא לא ישלים את כל המרחק אלה יגיע אל נקודה מאוד קרובה לסוף המסלול
בסופו של דבר הוא לא ישלים את כל המרחק אלה יגיע אל נקודה מאוד קרובה לסוף המסלול
די אינסופי
אנונימית
שואל השאלה:
אם אבל הוא יתמיד בכל יום, בשלב מסויים הוא יעבור את ה10 קילומטרים.
אם אבל הוא יתמיד בכל יום, בשלב מסויים הוא יעבור את ה10 קילומטרים.
אנונימי
זה לא נכון מתמטית. פשוט תנסה במחשבון להוריד חצאים. מ10 ואז מזה 5 ואז את החצי הבא והבא והבא. ולבסוף תראה שאתה מגיע לנקודה מאוד מאוד מאוד מאוד קרובה מ0(צריך להוריד 10 מ10) אבל לא אפס
כן
שואל השאלה:
זה ישאף לאפס, אבל ההליכה היא לא המתמטיקה, כי אם אתה משווה את ההליכה למתמטיקה תגיע למצב של 9.999999999999999 ותוסיף עוד כמה 9 שאתה רוצה, במצב כזה כל צעד כבר יגיע ל10.
זה ישאף לאפס, אבל ההליכה היא לא המתמטיקה, כי אם אתה משווה את ההליכה למתמטיקה תגיע למצב של 9.999999999999999 ותוסיף עוד כמה 9 שאתה רוצה, במצב כזה כל צעד כבר יגיע ל10.
אנונימי
יש הבדל בין מתמטיקה לבין המציאות. השאלה ששאלת למעלה היא שאלה תאורטית שמתקשרת ישירות למתמטיקה ולא למציאות. הרי אדם לא יכול לעשות צעדים ממש קטנים אבל זה עדיין תאורטית נכון. מה שרשמת מעל התגובה שאני ושם עכשיו זה מציאות ולא מתמטיקה. סביר להניח שהוא יגיע לשם כבר במרחקים הנמוכים כי הרי אם הוא יכול לסיים את ה0.125 קילומטר הזה עכשיו למה שהוא לא יעשה את זה. צריך להבדיל בין שאלה שהיא טכנית מתמטיקה(שמתקשרת לפילוסופיה אבל עדיין מתמטיקה) לבין מציאות מעשית
שואל השאלה:
מן הסתם שאלתי שאלה תיאורטית, יותר פרדוקס בלי תשובה מאשר שאלה למען האמת, אבל הנקודה שלי שהתקשרה למחשבון שנתת כדוגמה היא שאם תכפיל 33.3333333333333333333 ב3 יצא לך מאה, ולא 99.9999999999999999 כמו שאמור לצאת, אבל ההבדל בין התרגיל הזה ובין המקרה שנתתי, זה שבמקרה בכל יום, גם אחרי 9.9999999999999999 קילומטר יתווסף עוד מרחק, ככה שהשאיפה לעשר תהפוך לעשר פשוט
מן הסתם שאלתי שאלה תיאורטית, יותר פרדוקס בלי תשובה מאשר שאלה למען האמת, אבל הנקודה שלי שהתקשרה למחשבון שנתת כדוגמה היא שאם תכפיל 33.3333333333333333333 ב3 יצא לך מאה, ולא 99.9999999999999999 כמו שאמור לצאת, אבל ההבדל בין התרגיל הזה ובין המקרה שנתתי, זה שבמקרה בכל יום, גם אחרי 9.9999999999999999 קילומטר יתווסף עוד מרחק, ככה שהשאיפה לעשר תהפוך לעשר פשוט
אנונימי
לא. השאיפה לעשר אף פעם לא תעבור או תגיע למספר עשר. כי היא תמיד תישאר שאיפה לעשר. יוספו ל9.99999999999999 עוד מיליון ואחת 9 אחרי הנקודה אבל היא אף פעם לא תגיע ל10 פשוט.
לא. השאיפה לעשר אף פעם לא תעבור או תגיע למספר עשר. כי היא תמיד תישאר שאיפה לעשר. יוספו ל9.99999999999999 עוד מיליון ואחת 9 אחרי הנקודה אבל היא אף פעם לא תגיע ל10 פשוט.
שואל השאלה:
וזה בדיוק ההבדל בין מתמטיקה לפרדוקס שאמרתי.
זה פרדוקס מוכר, אין לזה תשובה, שנינו צודקים וטועים, אין לך סיבה להתווכח על זה. פתחתי את השאלה כדי לדעת מה הדעה של אנשים כאן בנוגע לפרדוקס
וזה בדיוק ההבדל בין מתמטיקה לפרדוקס שאמרתי.
זה פרדוקס מוכר, אין לזה תשובה, שנינו צודקים וטועים, אין לך סיבה להתווכח על זה. פתחתי את השאלה כדי לדעת מה הדעה של אנשים כאן בנוגע לפרדוקס
אנונימי
כן, כי הוא עדיין מתקדם
גם אם הוא יתקדם סנטימטר ביום וכל יום נחצה את מה שהוא עבר בחצי הוא יעבור 10 קילומטר (בהנחה שהוא לר ימות בדרך)
גם אם הוא יתקדם סנטימטר ביום וכל יום נחצה את מה שהוא עבר בחצי הוא יעבור 10 קילומטר (בהנחה שהוא לר ימות בדרך)
המרחק שהאדם יעבור ניתן על ידי הטור ההנדסי האינסופי הבא:
{(sum{a1*q^(n-1
שניתן לחישוב על ידי הנוסחה:
sum=a1/1-q
a1=5
q=1/2
לכן סכום הטור האינסופי שווה ל-10, משמעות הדבר היא שאחרי אינסוף ימים הוא יעבור 10 ק"מ. אלא שאנחנו יודעים שזמן אינסופי לא יכול לחלוף (כי הוא אף פעם לא נגמר) ולכן הוא אף פעם לא יעבור 10 ק"מ.
{(sum{a1*q^(n-1
שניתן לחישוב על ידי הנוסחה:
sum=a1/1-q
a1=5
q=1/2
לכן סכום הטור האינסופי שווה ל-10, משמעות הדבר היא שאחרי אינסוף ימים הוא יעבור 10 ק"מ. אלא שאנחנו יודעים שזמן אינסופי לא יכול לחלוף (כי הוא אף פעם לא נגמר) ולכן הוא אף פעם לא יעבור 10 ק"מ.
בן 18, תשובה חזקה, אהבתי-
במישור התיאורטי, כמובן שלא יגיע ל10 ק"מ, לא הגיוני מבחינה מתמטית,
אבל אתה תטען שמבחינה מעשית, בנקודה כלשהיא, הוא יעבור את ה10 ק"מ ב"טעות" , כי יגיע גודל מסוים, שהוא לא יוכל לדייק את ההליכה עד גבולו המסוים- אז בהחלט יגיע.
במישור התיאורטי כמובן שקיימת הנחת היסוד שאותו האדם מסוגל לעבור כל מרחק מסוים, עד כמה מדוייק שיהיה- דהיינו, השאלה היא מתמטית.
אם נגדיר את המישור המעשי כך שבו לא נניח את הנחת היסוד הזו- ונחליף אותו בהנחה פשוטה שהמשפט קורה בעולם שלנו, עם החוקים שקיימים פה, אז בהחלט יש כאן שתי תשובות נכונות, כל אחת במישור שונה.
נ.ב.- (לרוב)כשמציינים את השאלה, מכוונים למישור התיאורטי, ולכן תשובה מעשית כמו שהבאת, לא נחשבת ;)
במישור התיאורטי, כמובן שלא יגיע ל10 ק"מ, לא הגיוני מבחינה מתמטית,
אבל אתה תטען שמבחינה מעשית, בנקודה כלשהיא, הוא יעבור את ה10 ק"מ ב"טעות" , כי יגיע גודל מסוים, שהוא לא יוכל לדייק את ההליכה עד גבולו המסוים- אז בהחלט יגיע.
במישור התיאורטי כמובן שקיימת הנחת היסוד שאותו האדם מסוגל לעבור כל מרחק מסוים, עד כמה מדוייק שיהיה- דהיינו, השאלה היא מתמטית.
אם נגדיר את המישור המעשי כך שבו לא נניח את הנחת היסוד הזו- ונחליף אותו בהנחה פשוטה שהמשפט קורה בעולם שלנו, עם החוקים שקיימים פה, אז בהחלט יש כאן שתי תשובות נכונות, כל אחת במישור שונה.
נ.ב.- (לרוב)כשמציינים את השאלה, מכוונים למישור התיאורטי, ולכן תשובה מעשית כמו שהבאת, לא נחשבת ;)
תמיד הוא יעבור קצת פחות, וככה הוא ילך עד אינסוף
למעשה זה אינסוף פוטנציאלי, הוא יעבור באופן תיאורטי כמובן את המרחק הזה תוך אינסוף זמן, באופן מעשי זה בלתי אפשרי ולכן הוא לעולם לא יעבור אותו. בעיקרון זה פרדוקס מאוד מפורסם ויש הרבה מאמרים עליו ותשובות בידי מתמטיקאים ופילוסופים. יש עוד גרסה לזה שהיא טיפה שונה אבל מדגימה את האינסוף והפרדוקסליות שלו ושלדעתי היא הרבה יותר מעניינת, שיש צב וארנב, הארנב מנסה להגיע לצב, הארנב זז במהירות של פי 10 מהצב. באופן מעשי הוא ישיג את הצב נכון? נכון. אבל הפרדוקס מתחיל כשמנסים לחשב את זה מתמטית בצורה הבאה:
נניח והצב במרחק של מטר מהארנב, הארנב ילך מטר בשביל להגיע לצב, אבל בינתיים הצב עבר 10 ס''מ, אז הארנב יזוז עוד 10 ס''מ, עכשיו הצב ס''מ אחד מקדימה לארנב, ושוב הארנב ינסה להשיג אותו ובעצם זה אינסופי והוא לעולם לא ישיג אותו. גם כאשר עושים גרף מגלים שנקטדת הפגישה שלהם היא 1.111111..., וזה מאוד מעניין, בעצם נקודת המפגש היא אינסופית *אבל* העניין הוא שזה רק בסימון עשרוני. זאת אומרת זה שאתה לא מסוגל לסמן מספר בעזרת ספרות עשרוניות לא אומר שהמקום הזה לא קיים, למעשה הפיתרון מאוד פשוט, ברגע שהיא תעבור 1 וְ-1/9, משמע אפשר לסמן אותו בעזרת שבר. למעשה זה גם מה שקורה בפאי אל מספרים אינסופיים אחרים, אתה יכול לסמן נקודה כזאת על ציר המספרים, פשוט לא לסמן אותה בצורה עשרונית. למעשה הארנב יגיע למצב, אבל בגלל שאתה "מגביל" אותו לסימון בנקודה עשרונית הוא לא מצליח. זה מאוד מעניין אם תשאל אותי, שצורת סימון יכולה לגרום לדבר כזה זה פשוט מטורף! בגלל זה אני אוהב מתמטיקה, זה פשוט נורא מעניין! (עדיף לפחות לא לשחק פורטנייט כמו מלא מהילדים בגילי (13))
נניח והצב במרחק של מטר מהארנב, הארנב ילך מטר בשביל להגיע לצב, אבל בינתיים הצב עבר 10 ס''מ, אז הארנב יזוז עוד 10 ס''מ, עכשיו הצב ס''מ אחד מקדימה לארנב, ושוב הארנב ינסה להשיג אותו ובעצם זה אינסופי והוא לעולם לא ישיג אותו. גם כאשר עושים גרף מגלים שנקטדת הפגישה שלהם היא 1.111111..., וזה מאוד מעניין, בעצם נקודת המפגש היא אינסופית *אבל* העניין הוא שזה רק בסימון עשרוני. זאת אומרת זה שאתה לא מסוגל לסמן מספר בעזרת ספרות עשרוניות לא אומר שהמקום הזה לא קיים, למעשה הפיתרון מאוד פשוט, ברגע שהיא תעבור 1 וְ-1/9, משמע אפשר לסמן אותו בעזרת שבר. למעשה זה גם מה שקורה בפאי אל מספרים אינסופיים אחרים, אתה יכול לסמן נקודה כזאת על ציר המספרים, פשוט לא לסמן אותה בצורה עשרונית. למעשה הארנב יגיע למצב, אבל בגלל שאתה "מגביל" אותו לסימון בנקודה עשרונית הוא לא מצליח. זה מאוד מעניין אם תשאל אותי, שצורת סימון יכולה לגרום לדבר כזה זה פשוט מטורף! בגלל זה אני אוהב מתמטיקה, זה פשוט נורא מעניין! (עדיף לפחות לא לשחק פורטנייט כמו מלא מהילדים בגילי (13))
אני הכרתי את זה כצב וארנב, זה לא באמת משנה. הקונספט הוא אותו קונספט.