למה אנשים מבקשים דבר תורה בשבת הם קוראים את זה או מספרים בקידוש או משהו?

אומרים בקידוש דהינו בסעודות שבת.
אם הם לא מדפיסים את זה לפני אז הם אומרים בע"פ בסעודות שבת.

גַרְסִינָן בְּמַסֶּכֶת סוֹטָה בְּפֶרֶק קַמָּא (ט, א): תָּנוּ רַבָּנָן: סוֹטָה נָתְנָה עֵינֶיהָ בְּמִי שֶׁאֵינוֹ רָאוּי לָהּ, מַה שֶּׁבִּקְּשָׁה לֹא נִתַּן לָהּ וּמַה שֶּׁבְּיָדָהּ נָטְלוּ מִמֶּנָּה. וְכֵן מָצִינוּ בַּנָּחָשׁ הַקַּדְמוֹנִי, שֶׁנָּתַן עֵינָיו בְּמִי שֶׁאֵין רָאוּי לוֹ. מַה שֶּׁבִּקֵּשׁ לֹא נָתְנוּ לוֹ וּמַה שֶּׁבְּיָדוֹ נָטְלוּ מִמֶּנּוּ. אָמַר הַקָּדוֹשׁ בָּרוּךְ הוּא: אֲנִי אָמַרְתִּי יְהֵא מֶלֶךְ עַל כָּל בְּהֵמָה וְחַיָּה וְעַתָּה 'אָרוּר אַתָּה מִכָּל הַבְּהֵמָה' וגו' (בראשית ג, יד); אֲנִי אָמַרְתִּי יֵלֵךְ בְּקוֹמָה זְקוּפָה, עַכְשָׁיו 'עַל גְּחֹנְךָ תֵלֵךְ' (שם); אֲנִי אָמַרְתִּי יְהֵא מַאֲכָלוֹ מַאֲכַל אָדָם, עַכְשָׁיו עָפָר מַאֲכָלוֹ שֶׁנֶּאֱמַר: 'וְעָפָר תֹּאכַל כָּל־יְמֵי חַיֶּיךָ' (שם). הוּא אָמַר יַהֲרֹג אָדָם וְיִשָּׂא חַוָּה, עַכְשָׁיו 'וְאֵיבָה אָשִׁית' וגו' (שם שם, טו).

וְכֵן מָצִינוּ בְּקַיִן וּבְקֹרַח וּבִלְעָם וְדֹאֵג וַאֲחִיתֹפֶל וְגֵיחֲזִי וְאַבְשָׁלוֹם וַאֲדֹנִיָּהוּ וְעֻזִּיָּהוּ וְהָמָן, שֶׁנָּתְנוּ עֵינֵיהֶם בְּמַה שֶּׁאֵינוֹ רָאוּי לָהֶם, מַה שֶּׁבִּקְשׁוּ לֹא נָתְנוּ לָהֶם וּמַה שֶּׁבְּיָדָם נָטְלוּ מֵהֶם. וְכֵן יֵאֱרַע לְכָל הָרוֹדֵף אַחַר תַּאֲווֹתָיו לֹא יַשִּׂיגֵם כִּרְצוֹנוֹ וְיַפְסִיד עוֹלָמוֹ הַתְּמִידִי.