איך מוכיחים שאין נקודת פיתול לפונקציה?

אתה לוקח שתי נקודות רנדומליות על הלוח ומוכיח שהשיפוע שלהם שווה. זה אומר שלא היה פיתול.

שואל השאלה:
מזה נקודות רנדומליות?

אני יוצא מהנחה שכבר השווית את הנגזרת לאפס ומצאת את הנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת (או לפחות את x של כל אחת מאותן נקודות).

עכשיו יש שתי דרכים:

1. נגזרת שנייה - גוזרים שוב, ומציבים x של כל אחת מהנקודות שמצאנו. אם בנגזרת השנייה התוצאה היא אפס, אז מדובר בנקודת פיתול. אם התוצאה גדולה מאפס - נקודת מינימום; קטנה מאפס - נקודת מקסימום. בכל מקרה, מספיק לך להראות שהתוצאה שונה מאפס, כלומר - אין נקודת פיתול.

2. כפי שהציע המשיב הקודם - נקודות רנדומליות. הסבר: נניח שמצאת שהנגזרת מתאפסת בנקודה שבה x=7. את בוחרת באופן אקראי (רנדומלי) שתי נקודות - אחת קטנה מ-7 והשנייה גדולה מ-7. את מציבה כל אחת מהן בפונקציית הנגזרת. אם תוצאת הנגזרת יוצאת פעם חיובית ופעם שלילית, זה אומר שהנקודה שמצאת היא נק' קיצון - מינימום או מקסימום. אך אם הנגזרת יוצאת בשתי הפעמים חיובית או בשתי הפעמים שלילית, זה אומר שהנקודה היא נקודת פיתול.

שואל השאלה:
תודה. הבנתי את הדרך השנייה אבל איפה אני מציבה בנגזרת הראשונה או בנגזרת השנייה?

מראים שאין פתרון למשוואה f'' (x)=0
או לחלופין, שאם יש פתרון אז להראות שהנגזרת השנייה אי שלילית או אי חיובית לכל x בתחום ההגדרה.