אם קטע הוא גם חוצה זוית וגם גובה, אז חובה שהוא יהיה תיכון?

כן.

במשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים בלבד

כן.
אם הקטע הוא גם חוצה זווית וגם גובה, אז המשולש הוא שווה שוקיים.
ואם המשולש הוא שווה שוקיים, אותו הקטע הוא בהכרח גם תיכון.