איך מוכחים שפונקציה היא זוגית

בדיוק מה שהיא אמרה ^

אתה יכול גם להוכיח טענות כלליות כמו:
1) "סכום/הפרש של שתי פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית."
2) "הרכבה של פונקציה זוגית עם פונקציה זוגית בהחלט זו פונקציה זוגית" כאשר הכוונה בפונקציה זוגית בהחלט היא פונקציה שהערך המוחלט שלה היא זוגית (שזה מכליל פונקציות זוגיות, אי זוגיות, ועוד מלא סוגים של פונקציות שהן לא זה ולא זה אבל המשפט עובד גם עבורן).

אז אתה יכול למשל להראות שאיקס בריבוע זו פונקציה זוגית ושקוסינוס של איקס זו פונקציה זוגית ושערך מוחלט של שני איקס זו פונקציה זוגית. ואז להסיק מהמשפט השני שקוסינוס של שני איקס זו גם פונקציה זוגית ולהסיק מהמשפט הראשון שכל הפונקציה הנתונה היא זוגית.

randomly נתן תשובה יפה מאוד. אבל האמת שניתן לראות ש-cos(2x) זוגי בצורה יותר פשוטה: ידוע לנו ש-cosx זוגי. כשמחליפים את x ב-2x אנחנו למעשה מבצעים טרנספורמציה על גרף הפונקציה: אנחנו "דוחסים" אותו אופקית. לכן זה לא משפיע על זוגיות (או אי-זוגיות) הגרף.

(הקלד בגוגל "מתיחה וכיווץ של פונקציה" או "טרנספורמציה של פונקציה" כדי ללמוד על זה. אם נוח לך עם אנגלית יש גם https://www.purplemath.com/modules/fcntrans.htm )

אתה צודק שאפשר להראות שטרנספורמציות של מתיחה/כיווץ משמרות זוגיות.
אבל שים לב שטרנספורמציות מתיחה וכיווץ זה מקרה פרטי של הרכבה עם פונקציה זוגית בהחלט.
למה להגביל את עצמנו לטרנספורמציות מתיחה אם אפשר לדבר על הרכבה עם פונקציות שהן אי זוגיות? נשים לב שכל טרנספורמציית מתיחה היא בפרט הרכבה עם פונקציה אי זוגית.
זה לא משנה אם אנחנו מותחים בצורה אחידה כמו בטרנספורמציות מהסוג שאמרתה או מותחים בצורה לא אחידה.
ולמה להגביל את עצמנו לפונקציות אי זוגיות, הרי אפשר לראות שזה גם מקרה פרטי של פונקציות שהרכבה של הערך המוחלט עליהן זו פונקציה זוגית. (מה שכינתי זוגיות בהחלט)
תלוי מה הכוונה בהכי פשוט.
מישהו יכול לטעון שהכי פשוט זה בכלל לא להתעסק בדברים האלה ופשוט להציב x- ולראות מה קורה...