מתמטיקה בעיות קיצון- אפשר עזרה בשאלה 7? - קישור מצורף

שואל השאלה:
הy של a וb לא אותו דבר, התכוונת לx?

שואל השאלה:
תודהה

(f(x) = sqrt (mx
(g(x) = sqrt(36-4x

f(x) עובר דרך הראשית הצירים ולכן הגרף המתאר את הפונקציה f(x) הוא הגרף שעובר דרך ראשית הצירים, והגרף השני הוא g(x).

נתון:
s abcd max.
כאשר xa = 2.

נתחיל כך: נסמן-
xa = t
(ya = f(t) = sqrt (mt.
xa = xb = t
xb = 0.
(ya = yd = sqrt (mt.
נתון שהנק' d מונחת על הגרף של g(x) ולכן על מנת למצוא את שיעור ה x של הנק' d (להביע עם t) נוכל להשוות את הפונקציה g(x) לשיעור ה y של הנק' d:
(g(xd) = sqrt (mt
sqrt(36-4xd) = sqrt (mt) \()^2
36-4xd = mt
4xd = 36 - mt
xd = 9 - 0.25mt

ad = xd - xa = 9 - 0.25mt - t
(ab = ya - yb = sqrt (mt) - 0 = sqrt (mt

(s abcd=ad*bc=sqrt (mt)*(9-0.25mt-t
וזאת פונק' המטרה שלנו.
כדי לגזור אותה, יש להתשמש בכלל הנגזרת של מכפלה:
s abcd'=m/(2sqrt(mt))*(9-0.25mt-t) + sqrt(mt)*(-0.25-1

s abcd'=(9m-0.25m^2*t-mt)/(2sqrt(mt))-1.25sqrt(mt

מכנה משותף- (2sqrt(mt-
9m-0.25m^2*t-mt-2*1.25mt
--------------------------------------------- = 's abcd
(2sqrt (mt

9m-0.25m^2*t-mt-2.5mt
--------------------------------------- = 's abcd
(2sqrt (mt

9m-0.25m^2*t-3.5mt
----------------------------------- = 's abcd
(2sqrt (mt

נתון ששטח המלבן abcd מקסימלי עבור
xa = t = 2, כלומר הנגזרת של הפונקציה שבנינו מתאפסת כאשר t = 2.
כלומר כדי למצוא את m יש להשוות את הנגזרת ל 0 ולהציב t=2:
9m-0.25m^2*t-3.5mt
---------------------------------- = 0
(2sqrt (mt

מכנה מתבטל:
9m-0.25m^2*t-3.5mt = 0
עכשיו ניתן להציב t=2:
9m-0.25m^2*2-3.5m*2 = 0
9m-0.5m^2-7m = 0
2m - 0.5m^2 = 0
m(2 - 0.5m) = 0
m שונה מ 0
(נתון ש m>0)
i 2 - 0.5m = 0
0.5m = 2
m = 4

קיבלנו כי m=4.
עכשיו נעדכן את פונק' הנגזרת, נבדוק אם הנגזרת השנייה שלילית עבור t=2 כדי ששטח המלבן יהיה אכן מקסימלי עבור ערך t זה:
i 9*4 - 0.25*4^2*t - 3.5*4*t
---------------------------------------- = 's abcd
(2sqrt (4t

i 36 - 0.25*16t - 14t
----------------------------- = 's abcd
(2sqrt (4t

i 36 - 4t - 14t
------------------ = 's abcd
(2sqrt(4t

i 36 - 18t
---------------- = 's abcd
(2sqrt (4t

ניתן לעשות נגזרת שנייה רק למונה משום שהביטוי במכנה חיובי לכל ערך של t שעבורו פונק' הנגזרת מוגדרת, ולכן ביטוי זה אינו משפיע על סימן הנגזרת השנייה:
s abcd" מונה = -18 < 0
max. v

עכשיו נעדכן את פונק' המטרה שלנו עם m=4:
s abcd=sqrt(4t)*(9-0.25*4t-t)=sqrt(4t)*(9-t-t)= sqrt(4t)*(9-2t

עכשיו כשאנו יודעים ש m=4 ושעבור t=2 שטח המלבן הוא אכן מקסימלי, נוכל להציב t=2 בפונקציית המטרה שבנינו(שהיא בעצם שטח המלבן):
s abcd (2)=sqrt(4*2)*(9-2*2)=sqrt 8*5 =
5sqrt 8 = 14.142
יח"ר

תשובה: השטח המקסימלי של המלבן הוא
5*שורש8 יח"ר שזה 14.142 יח"ר