9 תשובות
שואל השאלה:
;;;
;;;
יש לך 2 זוויות ישרות, אחת נשענת על הקוטר והשנייה נוצרת מאמצע שני המשיקים, לכן הצלעות מקבילות
שואל השאלה:
תודה! וסעיף ב?
תודה! וסעיף ב?
א.
טענה 1: הקטע ce הוא קוטר
נימוק 1: נתון
טענה 2: cbe=90>
נימוק 2: זווית היקפית שנשענת על קוטר היא בת 90 מעלות
טענה 3: הקטעים ab ו ac משיקים למעגל ויוצאים מאותה נקודה(a).
נימוק 3: נתון
טענה 4: ab=ac(משולש abc ש"ש).
נימוק 4: שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
טענה 5: הקטע ad חוצה את זווית a>
נימוק 5: קטע העובר דרך מרכז המעגל לנקודת החיתוך בין שני משיקים למעגל חוצה את הזווית שנוצרת ביניהם
טענה 6: am הוא חוצה זווית הראש במשולש abc
נימוק 6: לפי 5
טענה 7: am גובה ל bc במשולש abc
(amc=<amb=90>)
נימוק 7: חוצה זווית הראש במשולש ש"ש מתלכד עם הגובה לבסיס
טענה 8: amc+<cmd=180>
נימוק 8: סכום זוויות צמודות
טענה 9: cmd+90=180 ----> <cmd=90>
נימוק 9: לפי 7 ו 8
טענה 10: cmd=<cbe=90>
נימוק 10: לפי 2 ו 9
טענה 11: be||ad
נימוק 11: שתי הזוויות המתאימות cbe> וזווית cmd> בין הישרים be ו ad הנחתכים ע"י ישר שלישי bc שוות זו לזו, ולכן הישרים be ו ad מקבילים.
מ.ש.ל א'
ב.
טענה 1: משולש abc ש"ש(ab=ac)
נימוק 1: הוכח ב א'
טענה 2: am גובה לבסיס bc במשולש abc
(amb=<amc=90>)
נימוק 2: הוכח ב א'
טענה 3: נעביר את הקטעים bl ו lc
נימוק 3: בניית עזר
טענה 4: lm גובה ל bc במשולש blc
נימוק 4: amb=<amc=90> לפי 2
טענה 5: am תיכון לבסיס bc במשולש abc
(bm=mc)
נימוק 5: הגובה לבסיס במשולש ש"ש מתלכד עם התיכון לבסיס
טענה 6: lm תיכון ל bc במשולש blc
נימוק 6: bm=mc לפי 5
טענה 7: משולש blc ש"ש(bl=lc)
נימוק 7: במשולש blc הגובה לבסיס מתלכד עם התיכון (lm).
טענה 8: ad חוצה את a>
נימוק 8: הוכח ב א'
טענה 9: הקטע ad עובר דרך מרכז המעגל החסום במשולש abc
נימוק 9: מרכז מעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזוויות של המשולש
טענה 10: ab משיק למעגל בנקודה b
נימוק 10: נתון
טענה 11: abl=<bcl=beta>
נימוק 11: זווית בין משיק למיתר+סימון
טענה 12: abc=<acb>
נימוק 12: זוויות בסיס שוות במשולש ש"ש משולש abc+סימון.
טענה 13: cbl=<bcl=beta>
נימוק 13: זוויות בסיס שוות במשולש ש"ש משולש blc+לפי 11
טענה 14: abl=<cbl=beta>
נימוק 14: לפי 11 ו 13
טענה 15: bl חוצה את זווית abc>
נימוק 15: לפי 14
טענה 16: lc חוצה את זווית acb>
נימוק 16: דרך הנקודה שבה שני חוצי הזוויות נפגשים במשולשים, יעבור גם החוצה הזווית השלישי.
טענה 17: הנקודה l היא מרכז המעגל החסום במשולש acb
נימוק 17: הנקודה l היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות במשולש acb - לפי 8, 15 ו 16.
מ.ש.ל ב
זה ב.... תודה למי שמתחתיי שעזרה לי בהוכחה!
ג.
טענה 1: abc=60>
נימוק 1: נתון
טענה 2: משולש abc ש"ש
נימוק 2: הוכח ב א
טענה 3: abc=<acb=60>
נימוק 3: זוויות בסיס שוות במשולש ש"ש משולש abc.
טענה 4: abc+<acb+<cab=180>
נימוק 4: סכום זוויות במשולש abc
טענה 5: cab+60+60=180> ----> <cab=60
נימוק 5: לפי 3 ו 4
טענה 6: משולש abc הוא משולש שווה צלעות
(ab=ac=bc)
נימוק 6: במשולש abc כל הזוויות שוות ל 60 מעלות לפי 3 ו 5.
טענה 7: הנקודה l היא מרכז המעגל החסום במשולש abc
נימוק 7: הוכח ב ב'
טענה 8: הנקודה l היא מרכז המעגל החוסם את משולש abc
נימוק 8: במשולש שווה צלעות - מרכז המעגל החסום במשולש ומרכז המעגל החוסם את המשולש מתלכדים
טענה 9: ac משיק למעגל בנקודה c,
co רדיוס במעגל o
(co=r)
נימוק 9: נתון
טענה 10: ac_|_co
(ace=90>)
נימוק 10: המשיק למעגל מאונך לרדיוס בקצהו
טענה 11: acb+<bce=<ace>
נימוק 11: חיבור זוויות
טענה 12: bce+60=90> ----> <bce=30
נימוק 12: לפי 3, 10 ו 11.
טענה 13: cbe=90>
(משולש cbe ישר זווית)
נימוק 13: הוכח ב-א
טענה 14: ce=2r
נימוק 14: ce הוא קוטר במעגל o
טענה 15: be=ce/2=2r/2=r
נימוק 15: במשולש ישר זווית 30 60 90, הניצב מול הזווית בת ה 30 מעלות שוות למחצית היתר
טענה 16: be||ad
נימוק 16: הוכח ב-א
טענה 17: mo חלק מ ad
נימוק 17: נתון
טענה 18: be||mo
נימוק 18: לפי 16 ו 17.
טענה 19: co/ce=mo/be
נימוק 19: משפט תלס הרחבה א, משולש bce
טענה 20: r/(2r)=mo/r
mo/r=1/2
mo=r/2
נימוק 20: לפי 9, 14, 15 ו 19.
טענה 21: lo=r
נימוק 21: רדיוס במעגל o
טענה 22: lm=lo-mo=r-r/2=r/2
נימוק 22: חיסור קטעים+לפי 20 ו 21.
טענה 23: bc^2+be^2=ce^2
נימוק 23: משפט פיתגורס במשולש bce
טענה 24: bc^2+r^2=(2r)^2
bc^2=r^2+4r^2
bc^2=5r^2
bc=sqrt 5*r
נימוק 24: לפי 9, 13 ו 14
טענה 25: am תיכון ל bc במשולש abc
(bm=mc)
נימוק 25: הוכח ב א.
טענה 26:
bm=mc=bc/2=sqrt 5*r/2
נימוק 26: לפי 24 ו 25
טענה 27: am גובה ל bc במשולש abc
(amb=<amc=90>)
נימוק 27: הוכח ב-א
טענה 28: משולש bml ישר זווית
נימוק 28: amb=90> לפי 27
טענה 29:
lm^2+bm^2=lb^2
נימוק 29:
משפט פיתגורס משולש bml
טענה 30:
lb^2=(r/2)^2+(sqrt 5*r/2)^2
lb^2=r^2/4+5r^2/4
lb^2=6r^2/4
lb^2=1.5r^2
lb=sqrt 1.5*r=1.2247r
נימוק 30: לפי 22, 26 ו 29.
טענה 31: רדיוס המעגל החוסם את משולש abc הוא r.
נימוק 31: סימון
טענה 32: lb=r=sqrt 1.5*r=1.2447r
נימוק 32: lb רדיוס במעגל החוסם את משולש abc.
מ.ש.ל ג
ד.
טענה 1: נעביר את הקטע bd
נימוק 1: בניית עזר
טענה 2: ab משיק למעגל בנקודה b
נימוק 2: נתון
טענה 3: abl=<adb>
נימוק 3: זווית בין משיק למיתר
טענה 4: bad=<bad>
נימוק 4: זווית משותפת
טענה 5: משולש abl ~ משולש adb
נימוק 5: ז.ז. לפי 3 ו 4.
טענה 6: ad/ab=ab/al
כפל בהצלבה-
ab^2=ad*al
נימוק 6: במשולשים דומים כל שתי צלעות מתאימות מתייחסות זה לזה כמו שתי צלעות מתאימות אחרות
טענה 7: bc=sqrt 5*r
נימוק 7: הוכח ב-ג
טענה 8: משולש abc שווה צלעות
(ab=ac=bc)
נימוק 8: הוכח ב ג'
טענה 9: ab=ac=bc=sqrt 5*r
נימוק 9: לפי 7 ו 8
מ.ש.ל ד-
ab=sqrt 5*r
טענה 1: הקטע ce הוא קוטר
נימוק 1: נתון
טענה 2: cbe=90>
נימוק 2: זווית היקפית שנשענת על קוטר היא בת 90 מעלות
טענה 3: הקטעים ab ו ac משיקים למעגל ויוצאים מאותה נקודה(a).
נימוק 3: נתון
טענה 4: ab=ac(משולש abc ש"ש).
נימוק 4: שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
טענה 5: הקטע ad חוצה את זווית a>
נימוק 5: קטע העובר דרך מרכז המעגל לנקודת החיתוך בין שני משיקים למעגל חוצה את הזווית שנוצרת ביניהם
טענה 6: am הוא חוצה זווית הראש במשולש abc
נימוק 6: לפי 5
טענה 7: am גובה ל bc במשולש abc
(amc=<amb=90>)
נימוק 7: חוצה זווית הראש במשולש ש"ש מתלכד עם הגובה לבסיס
טענה 8: amc+<cmd=180>
נימוק 8: סכום זוויות צמודות
טענה 9: cmd+90=180 ----> <cmd=90>
נימוק 9: לפי 7 ו 8
טענה 10: cmd=<cbe=90>
נימוק 10: לפי 2 ו 9
טענה 11: be||ad
נימוק 11: שתי הזוויות המתאימות cbe> וזווית cmd> בין הישרים be ו ad הנחתכים ע"י ישר שלישי bc שוות זו לזו, ולכן הישרים be ו ad מקבילים.
מ.ש.ל א'
ב.
טענה 1: משולש abc ש"ש(ab=ac)
נימוק 1: הוכח ב א'
טענה 2: am גובה לבסיס bc במשולש abc
(amb=<amc=90>)
נימוק 2: הוכח ב א'
טענה 3: נעביר את הקטעים bl ו lc
נימוק 3: בניית עזר
טענה 4: lm גובה ל bc במשולש blc
נימוק 4: amb=<amc=90> לפי 2
טענה 5: am תיכון לבסיס bc במשולש abc
(bm=mc)
נימוק 5: הגובה לבסיס במשולש ש"ש מתלכד עם התיכון לבסיס
טענה 6: lm תיכון ל bc במשולש blc
נימוק 6: bm=mc לפי 5
טענה 7: משולש blc ש"ש(bl=lc)
נימוק 7: במשולש blc הגובה לבסיס מתלכד עם התיכון (lm).
טענה 8: ad חוצה את a>
נימוק 8: הוכח ב א'
טענה 9: הקטע ad עובר דרך מרכז המעגל החסום במשולש abc
נימוק 9: מרכז מעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזוויות של המשולש
טענה 10: ab משיק למעגל בנקודה b
נימוק 10: נתון
טענה 11: abl=<bcl=beta>
נימוק 11: זווית בין משיק למיתר+סימון
טענה 12: abc=<acb>
נימוק 12: זוויות בסיס שוות במשולש ש"ש משולש abc+סימון.
טענה 13: cbl=<bcl=beta>
נימוק 13: זוויות בסיס שוות במשולש ש"ש משולש blc+לפי 11
טענה 14: abl=<cbl=beta>
נימוק 14: לפי 11 ו 13
טענה 15: bl חוצה את זווית abc>
נימוק 15: לפי 14
טענה 16: lc חוצה את זווית acb>
נימוק 16: דרך הנקודה שבה שני חוצי הזוויות נפגשים במשולשים, יעבור גם החוצה הזווית השלישי.
טענה 17: הנקודה l היא מרכז המעגל החסום במשולש acb
נימוק 17: הנקודה l היא נקודת המפגש של חוצי הזוויות במשולש acb - לפי 8, 15 ו 16.
מ.ש.ל ב
זה ב.... תודה למי שמתחתיי שעזרה לי בהוכחה!
ג.
טענה 1: abc=60>
נימוק 1: נתון
טענה 2: משולש abc ש"ש
נימוק 2: הוכח ב א
טענה 3: abc=<acb=60>
נימוק 3: זוויות בסיס שוות במשולש ש"ש משולש abc.
טענה 4: abc+<acb+<cab=180>
נימוק 4: סכום זוויות במשולש abc
טענה 5: cab+60+60=180> ----> <cab=60
נימוק 5: לפי 3 ו 4
טענה 6: משולש abc הוא משולש שווה צלעות
(ab=ac=bc)
נימוק 6: במשולש abc כל הזוויות שוות ל 60 מעלות לפי 3 ו 5.
טענה 7: הנקודה l היא מרכז המעגל החסום במשולש abc
נימוק 7: הוכח ב ב'
טענה 8: הנקודה l היא מרכז המעגל החוסם את משולש abc
נימוק 8: במשולש שווה צלעות - מרכז המעגל החסום במשולש ומרכז המעגל החוסם את המשולש מתלכדים
טענה 9: ac משיק למעגל בנקודה c,
co רדיוס במעגל o
(co=r)
נימוק 9: נתון
טענה 10: ac_|_co
(ace=90>)
נימוק 10: המשיק למעגל מאונך לרדיוס בקצהו
טענה 11: acb+<bce=<ace>
נימוק 11: חיבור זוויות
טענה 12: bce+60=90> ----> <bce=30
נימוק 12: לפי 3, 10 ו 11.
טענה 13: cbe=90>
(משולש cbe ישר זווית)
נימוק 13: הוכח ב-א
טענה 14: ce=2r
נימוק 14: ce הוא קוטר במעגל o
טענה 15: be=ce/2=2r/2=r
נימוק 15: במשולש ישר זווית 30 60 90, הניצב מול הזווית בת ה 30 מעלות שוות למחצית היתר
טענה 16: be||ad
נימוק 16: הוכח ב-א
טענה 17: mo חלק מ ad
נימוק 17: נתון
טענה 18: be||mo
נימוק 18: לפי 16 ו 17.
טענה 19: co/ce=mo/be
נימוק 19: משפט תלס הרחבה א, משולש bce
טענה 20: r/(2r)=mo/r
mo/r=1/2
mo=r/2
נימוק 20: לפי 9, 14, 15 ו 19.
טענה 21: lo=r
נימוק 21: רדיוס במעגל o
טענה 22: lm=lo-mo=r-r/2=r/2
נימוק 22: חיסור קטעים+לפי 20 ו 21.
טענה 23: bc^2+be^2=ce^2
נימוק 23: משפט פיתגורס במשולש bce
טענה 24: bc^2+r^2=(2r)^2
bc^2=r^2+4r^2
bc^2=5r^2
bc=sqrt 5*r
נימוק 24: לפי 9, 13 ו 14
טענה 25: am תיכון ל bc במשולש abc
(bm=mc)
נימוק 25: הוכח ב א.
טענה 26:
bm=mc=bc/2=sqrt 5*r/2
נימוק 26: לפי 24 ו 25
טענה 27: am גובה ל bc במשולש abc
(amb=<amc=90>)
נימוק 27: הוכח ב-א
טענה 28: משולש bml ישר זווית
נימוק 28: amb=90> לפי 27
טענה 29:
lm^2+bm^2=lb^2
נימוק 29:
משפט פיתגורס משולש bml
טענה 30:
lb^2=(r/2)^2+(sqrt 5*r/2)^2
lb^2=r^2/4+5r^2/4
lb^2=6r^2/4
lb^2=1.5r^2
lb=sqrt 1.5*r=1.2247r
נימוק 30: לפי 22, 26 ו 29.
טענה 31: רדיוס המעגל החוסם את משולש abc הוא r.
נימוק 31: סימון
טענה 32: lb=r=sqrt 1.5*r=1.2447r
נימוק 32: lb רדיוס במעגל החוסם את משולש abc.
מ.ש.ל ג
ד.
טענה 1: נעביר את הקטע bd
נימוק 1: בניית עזר
טענה 2: ab משיק למעגל בנקודה b
נימוק 2: נתון
טענה 3: abl=<adb>
נימוק 3: זווית בין משיק למיתר
טענה 4: bad=<bad>
נימוק 4: זווית משותפת
טענה 5: משולש abl ~ משולש adb
נימוק 5: ז.ז. לפי 3 ו 4.
טענה 6: ad/ab=ab/al
כפל בהצלבה-
ab^2=ad*al
נימוק 6: במשולשים דומים כל שתי צלעות מתאימות מתייחסות זה לזה כמו שתי צלעות מתאימות אחרות
טענה 7: bc=sqrt 5*r
נימוק 7: הוכח ב-ג
טענה 8: משולש abc שווה צלעות
(ab=ac=bc)
נימוק 8: הוכח ב ג'
טענה 9: ab=ac=bc=sqrt 5*r
נימוק 9: לפי 7 ו 8
מ.ש.ל ד-
ab=sqrt 5*r
שואל השאלה:
הצלחת בסוף?
הצלחת בסוף?
לא, סליחה :/
בכללי צריך להוכיח ש l היא נקודת מפגש חוצי הזוויות במשולש abc, וכבר יש את ad שהוא חוצה את זווית a> וצריך להוכיח גם שהצלעות האחרות שעוברות דרך הנקודה l שהן lb ו lc חוצי זוויות במשולש abc ואין לי מושג איך להוכיח את זה
בכללי צריך להוכיח ש l היא נקודת מפגש חוצי הזוויות במשולש abc, וכבר יש את ad שהוא חוצה את זווית a> וצריך להוכיח גם שהצלעות האחרות שעוברות דרך הנקודה l שהן lb ו lc חוצי זוויות במשולש abc ואין לי מושג איך להוכיח את זה
^אני נורא אשמח אם תראי לי איך את עשית את ב
^^אה יואוו
חח לא שמתי לב שיש זווית בין משיק למיתר
טוב חח אני גרוע בגיאומטריה
אבל תודה רבה לך על העזרה =)
חח לא שמתי לב שיש זווית בין משיק למיתר
טוב חח אני גרוע בגיאומטריה
אבל תודה רבה לך על העזרה =)
עשיתי עכשיו גם את ג^^^
(זאת הייתה הוכחה ארוכה ומייגעת).
עכשיו אנסה את ד, מקווה שאצליח
(זאת הייתה הוכחה ארוכה ומייגעת).
עכשיו אנסה את ד, מקווה שאצליח
באותו הנושא: