איך אני מוכיחה שהנגזרת של פונקציה זוגית היא אי זוגית??

עבור פונקציות של פולינומים (חזקות באיקס): פונקציה זוגית זו פונקציה שיש בה רק חזקות זוגיות. כשגוזרים איקס בחזקה אז החזקה יורדת באחד (למשל גזירה של איקס ברביעית תהפוך לאיקס בשלישית) ואז כל הזוגי נהיה אי זוגי, ומקבלים פונקציה אי זוגית (הנגזרת)

אם הפונקציה היא לא פולינום, זה קצת יותר מסובך לא יודע אם בחומר של תיכון:

אפשר לפתח את הפונקציה לטור טיילור (סכום של חזקות של x).
ואז שוב פונקציה זוגית מורכבת רק מחזקות זוגיות של המשתנה, וכשגוזרים פולינום המעלה שלו יורדת באחד, ככה שכל החזקות הזוגיות יהפכו לחזקות אי זוגיות שזו ההגדרה של פונקציה אי זוגית.

למשל קוסינוס שהיא פונקציה זוגית, פיתוח טיילור שלה:
cos x ~ 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + even powers

אם תגזרי:

dcos x/dx ~ -x + x^3/3! - x^5/5! + odd powers

שזה טיילור של מינוס סינוס, שהיא אי זוגית.

אני לא מבין למה צריך להסתבך עם זה, כמו שני ה"מלומדים" מעליי.

פונקציה זוגית היא סימטרית, כמו במראה. ולכן גם השיפוע סימטרי: רק הסימן משתנה.

(ולמה? כי שיפוע זה y1 - y2 חלקי דלתא x. ומכיוון שבמראה מתחלף הסדר של y1 ו-y2, מתחלף הסימן.)

וזו בדיוק ההגדרה של פונקציה אי זוגית.

מה אתם מסתבכים?
בפונקציה זוגית יש רק חזקות זוגיות, כשגוזרים מורידים אחד מהחזקה.
ככה החזקות כבר לא זוגיות.

ההוכחה המלאה היא לפי הגדרה, דומה למה שניקולו אמר אבל באופן פורמלי יותר.
http://www.up2me.co.il/imgs/98124603.png

^ומה עם פונקציות מנה? שורש? טריגו?
מה שכתבת תקף לפונקציות פולינום, אך זו לא הוכחה לכך ש*באופן כללי* כשפונקציה זוגית, נגזרתה אי זוגית.