5 תשובות
תני דוגמה
נגזרת, יש הרי חזקות נכון? למשל ארבע איקס בחזקת שתיים אז מעבירים את החזקה(את שתיים) כפול המספר הטבעי(הארבע) ואז נשאר שמונה, ולחזקה מורידים אחד, כלומר שמונה איקס בחזקת אחד. וככה גם למספר רגיל, נגיד ארבע איקס עושים ארבע כפול החזקה(אחד) זה ארבע וזה יוצא ארבע איקס בחזקת אפס, בגלל שמספר בחזקת אפס זה אחד אז נשאר רק ארבע בלי איקס.
שיפו משיק התכוונת אני מניח, זאת בעצם הנגזרת עם הצבת האיקס הנתון, למשל נתון לנו נגזרת ארבע איקס בריבוע, ואיקס הנתון הוא 2 אז הנגזרת היא שמונה איקס, כפול שתיים כי הוא האיקס הנתון יוצא 16 ו16 זה השיפוע
מקווה שעזרתי, בברכה, גיימר רנדומלי
שיפו משיק התכוונת אני מניח, זאת בעצם הנגזרת עם הצבת האיקס הנתון, למשל נתון לנו נגזרת ארבע איקס בריבוע, ואיקס הנתון הוא 2 אז הנגזרת היא שמונה איקס, כפול שתיים כי הוא האיקס הנתון יוצא 16 ו16 זה השיפוע
מקווה שעזרתי, בברכה, גיימר רנדומלי
שואל השאלה:
תודות
תודות
אנונימית
שיפוע של קו ישר - ראשית יש להבין מהו שיפוע של קו ישר, בגיאומטריה שיפוע מתאר את עוצמת התלילות ערך מוחלט גדול מתאר תלילות גדולה וככל שהערך המוחלט מתקרב לאפס התלילות קטנה, שיפוע 0 מתאר מישור (ישר אופקי שמקביל לציר ה- x)
הגדרה של שיפוע הוא היחס בין ההתקדמות האנכית (התקדמות על ציר y) לבין ההתקדמות האופקית (התקדמות על ציר x)
כלומר אם בידינו שתי נקודות על ישר מסוים
(2,3) ו- (1,1)
קל לראות כי קצב ההתקדמות על ציר y גדול מקצב ההתקדמות על ציר x כי מהנקודה 1,1 עד לנקודה 2,3 התקדמנו יחידה אחת בציר x בעוד שבציר y התקדמנו מרחק של 2 יחידות כלומר ניתן להבין כי השיפוע הוא 2, אך ניתן לבדוק זאת גם לפי ההגדרה
(m = (y2 - y1) / (x2 - x1
כאשר m זהו השיפוע
y2 - y1 זה הפרש בין ערכי ה- y של שתי נקודות
x2 - x1 זה הפרש ערכי ה- x בין אותן הנקודות
ובנקודות שכתבתי קודם נקבל כי השיפוע m הוא
m = (3 - 1) / (2 - 1) = 2 / 1 = 2
במתמטיקה כאשר רוצים להבין משהו לעומק בדרך כלל מתחילים בדוגמאות קלות, הכי קלות שניתן לחשוב עליהן, אז ניקח למשל ישר שעובר בי הנקודות
(1,1) ו- (2,2)
קל לראות שעבור כל יחידה שנתקדם על ציר x נתקדם גם כן יחידה אחת על ציר y ולכן השיפוע הוא 1, ניתן לראות זאת גם לפי ההגדה של שיפוע, את מוזמנת לבדוק.
באופן כללי משוואת ישר מהצורה y = ax + b
ניתן להבין כי a מתאר את השיפוע של הישר, כיוון שמשוואת ישר כללית נוצרה מהגדרת השיפוע לפי הנוסחה
(m = (y2 - y1) / (x2 - x1
ניקח נקודה כללית על הישר x,y ונקודה ספציפית x1,y1 ונניח שהשיפוע m הוא ידוע
נציב בנוסחה שלנו כאשר
x1 = x1
y1 = y1
x2 = x
y2 = y
נקבל
(m = (y - y1) / (x - x1
נכפול את שני האגפים ב- (x - x1) ונקבל
(y - y1 = m(x - x1
נוסיף לשני האגפים y1 וכן נפתח סוגריים באגף ימין ונקבל
y = mx - mx1 + y1
נזכור שהידוע לנו מי הם m, x1, y1 ורק x,y אלו משתנים ולכן נוכל לכתוב
(y = mx + (y1 - mx1
המספר y1 - mx1 זה איזה שהוא מספר, כיוון שהפרמטרים ידועים לנו נוכל לבצע את החיסור של y1 עם המכפלה m כפול x1, נגיד שהתוצאה היא b ואז נקבל
y = mx + b
וזוהי משוואת הישר, קל לראות כי המקדם של x הוא m אם למשל m היה שווה ל- 3 היינו מקבלים בסוף
y = 3x + b
וזאת הסיבה שכל משוואה מהצורה
y = mx +b היא משוואה מפורשת למציאת השיפוע.
לגבי נגזרות זה קצת יותר מסובך, מדובר בפונקציה שאינה לינארית (אינה קו ישר) שהשיפוע שלה משתנה.
למשל הפונקציה
f(x) = x^2
אז ראשית מה שעבד במשוואת ישר לא יעבוד כאן, אם ננסה לקחת שתי נקודות ולבדוק מה היחס בין הפרש ערכי ה- y ולבין הפרש ערכי ה- x נקבל את שיפוע המיתר, קטע המחבר בין שתי נקודות בפונקציה ולא שיפוע בנקודה, זאת מכיוון שבכל נקודה השיפוע משתנה, ואין שיפוע קבוע בין שתי נקודות לא משנה כמה קרובות הן יהיו.
את וודאי יודעת שהשיפוע בנקודה 0 הוא 0, גם לפי גרף הפונקציה ניתן לראות זאת (אני מצרף קישור לגרף הפונקציה)
https://www.desmos.com/calculator/r8uion4ydd
וגם לפי הנגזרת (למרות שהמילה נגזרת עדיין לא ברורה - זה לא קסם אלא יש פה הגיון והסבר למה הנגזרת של x^2 היא 2x)
נשים לב שאם ניקח שני נקודות על הפונקציה ונחבר אותן בקו, נקבל מיתר,הישר שהמיתר עובר בו דיי רחוק משיפוע הגרף בנקודה על הגרף,
אם למשל אקח את שתי הנקודות
(0,0) ו- (1,1)
על הפונקציה x^2 אקבל משהו כזה
https://www.desmos.com/calculator/i5opsgdppp
אך אם למשל אקח שתי נקודות יותר קרובות
(0,0) ו- (0.5,0.25)
שיפוע הישר של המיתר בין שתי הנקודות מתקרב לשיפוע הפונקציה בנקודה 0 (כי התקרבנו בצד ימין, בהתחלה היו הנקודות (0,0) ו- (1,1) ואחר כך (0,0) עם (0.50,0.25)
נוכל לקרב עוד את הנקודה הימנית לנקודה (0,0) ולקבל שיפוע קרוב יותר לשיפוע הפונקציה בנקודה (0,0)
אך במתמטיקה יש דבר כזה שנקרא חשבון גבולות, כך שנוכל לקחת מספר קטן כרצוננו ולקרבו לאפס כמה שנרצה
שוב נבחר בנקודה (0,0)
את הנקודה השניה שבחרנו שהייתה(1,1) בהתחלה ואחר כך (0.5,0.25)
נוכל לכתוב בצורה של הנקודה (0,0) ועוד קצת
למשל
(1,1) = (0+1,0+1)
ואחר כך קירבנו את הנקודה (1,1) אל הנקודה (0,0) ובחרנו במקומה את הנקודה
(0+0.25, 0+0.5)
כלומר אנחנו כל פעם מקטינים את המספר שמתחבר ל- 0
נוכל לכתוב באופן כללי
(t+0), (t^2+0)
כי הערך שנמצא בציר y הוא הריבוע של הערך שמופיע בציר x (כך הפונקציה x^2 עובדת)
בכל מקרה, נשים לב שככל ש- t קטן יותר כך השיפוע של הישר של המיתר שעובר בין שתי הנקודות (0,0), (t,t^2) קרוב יותר לשיפוע של הפונקציה בנקודה (0,0) כי ככל ש- t קטן יותר אז הנקודה (t,t^2) קרובה יותר לנקודה (0,0) וכפי שראינו זה מקרב אותנו לשיפוע הפונקציה בנקודה
כמה קטן t צריך להיות כדי שהשיפוע יהיה מספיק טוב?
אין תשובה, כי t זה מספר שיכול להיות קטן ככל האפשר.
אמנם אנחנו בודקים את השיפוע בנקודה (0,0) כי קירבנו את כל הנקודות שלנו לנקודה זו אך נוכל להציב כל נקודה במקום 0,0 ולחשב את שיפועה על ידי קירוב של נקודות אליה ובדיקת השיפוע של המיתר (שכזכור זהו שיפוע בין שתי נקודות בדיוק כמו ישר)
ואם סתם למשל נבחר בנקודה (x,y) שבעצם נוכל לכתוב (x,x^2)
אז נוכל להוסיף מספר קטן t לערך x כדי לקבל נקודה קרובה
נקבל את הנקודה
(x+t),(x+t)^2))
כזכור t הוא מספר קטן, ככל שיהיה יותר קטן כך נהיה קרובים לשיפוע של הנקודה (x,y)
יש לנו שתי נקודות על הפונקציה שהן
(x,x^2)
ו-
(x+t),(x+t)^2))
נוכל לבדוק מה השיפוע של המיתר שיוצרות לפי נוסחה של שיפוע בין שתי נקודות בדיוק כמו על ישר, נקבל
[m = [(x+t)^2 - x^2)] / [x+t - x
נפתח סוגריים במונה וה- x^2 יצטמצם במכנה ה- x מצטמצם ונקבל
m = [t^2 + 2xt] / t
נוכל לצמצם את המונה והמכנה ב- t ונקבל
m = 2x + t
אבל זה ממש דומה לנגזרת, קיבלנו שהשיפוע הוא 2x ועוד t אבל t הוא מספר ממש ממש קטן, אנחנו בחרנו אותו שיהיה, כמה קטן? הכי קטן שיש, כלומר אפשר להתעלם ממנו מרוב שהוא קטן ולכן נקבל שהשיפוע בנקודה x,y היא
m = x^2
כמובן ש- x הוא משתנה ונוכל להציב כל ערך במקומו ולמצוא את השיפוע בנקודה
ניתן להכליל זאת ולמצוא באותה הדרך (זה קצת דורש מיומנות אלגברית)
כי השיפוע של הפונקציה x^n עבור n ששונה מ- 0 (כי אז בעצם זאת הפונקציה y = 1)
הוא (n*x^(n-1
בהצלחה !
הגדרה של שיפוע הוא היחס בין ההתקדמות האנכית (התקדמות על ציר y) לבין ההתקדמות האופקית (התקדמות על ציר x)
כלומר אם בידינו שתי נקודות על ישר מסוים
(2,3) ו- (1,1)
קל לראות כי קצב ההתקדמות על ציר y גדול מקצב ההתקדמות על ציר x כי מהנקודה 1,1 עד לנקודה 2,3 התקדמנו יחידה אחת בציר x בעוד שבציר y התקדמנו מרחק של 2 יחידות כלומר ניתן להבין כי השיפוע הוא 2, אך ניתן לבדוק זאת גם לפי ההגדרה
(m = (y2 - y1) / (x2 - x1
כאשר m זהו השיפוע
y2 - y1 זה הפרש בין ערכי ה- y של שתי נקודות
x2 - x1 זה הפרש ערכי ה- x בין אותן הנקודות
ובנקודות שכתבתי קודם נקבל כי השיפוע m הוא
m = (3 - 1) / (2 - 1) = 2 / 1 = 2
במתמטיקה כאשר רוצים להבין משהו לעומק בדרך כלל מתחילים בדוגמאות קלות, הכי קלות שניתן לחשוב עליהן, אז ניקח למשל ישר שעובר בי הנקודות
(1,1) ו- (2,2)
קל לראות שעבור כל יחידה שנתקדם על ציר x נתקדם גם כן יחידה אחת על ציר y ולכן השיפוע הוא 1, ניתן לראות זאת גם לפי ההגדה של שיפוע, את מוזמנת לבדוק.
באופן כללי משוואת ישר מהצורה y = ax + b
ניתן להבין כי a מתאר את השיפוע של הישר, כיוון שמשוואת ישר כללית נוצרה מהגדרת השיפוע לפי הנוסחה
(m = (y2 - y1) / (x2 - x1
ניקח נקודה כללית על הישר x,y ונקודה ספציפית x1,y1 ונניח שהשיפוע m הוא ידוע
נציב בנוסחה שלנו כאשר
x1 = x1
y1 = y1
x2 = x
y2 = y
נקבל
(m = (y - y1) / (x - x1
נכפול את שני האגפים ב- (x - x1) ונקבל
(y - y1 = m(x - x1
נוסיף לשני האגפים y1 וכן נפתח סוגריים באגף ימין ונקבל
y = mx - mx1 + y1
נזכור שהידוע לנו מי הם m, x1, y1 ורק x,y אלו משתנים ולכן נוכל לכתוב
(y = mx + (y1 - mx1
המספר y1 - mx1 זה איזה שהוא מספר, כיוון שהפרמטרים ידועים לנו נוכל לבצע את החיסור של y1 עם המכפלה m כפול x1, נגיד שהתוצאה היא b ואז נקבל
y = mx + b
וזוהי משוואת הישר, קל לראות כי המקדם של x הוא m אם למשל m היה שווה ל- 3 היינו מקבלים בסוף
y = 3x + b
וזאת הסיבה שכל משוואה מהצורה
y = mx +b היא משוואה מפורשת למציאת השיפוע.
לגבי נגזרות זה קצת יותר מסובך, מדובר בפונקציה שאינה לינארית (אינה קו ישר) שהשיפוע שלה משתנה.
למשל הפונקציה
f(x) = x^2
אז ראשית מה שעבד במשוואת ישר לא יעבוד כאן, אם ננסה לקחת שתי נקודות ולבדוק מה היחס בין הפרש ערכי ה- y ולבין הפרש ערכי ה- x נקבל את שיפוע המיתר, קטע המחבר בין שתי נקודות בפונקציה ולא שיפוע בנקודה, זאת מכיוון שבכל נקודה השיפוע משתנה, ואין שיפוע קבוע בין שתי נקודות לא משנה כמה קרובות הן יהיו.
את וודאי יודעת שהשיפוע בנקודה 0 הוא 0, גם לפי גרף הפונקציה ניתן לראות זאת (אני מצרף קישור לגרף הפונקציה)
https://www.desmos.com/calculator/r8uion4ydd
וגם לפי הנגזרת (למרות שהמילה נגזרת עדיין לא ברורה - זה לא קסם אלא יש פה הגיון והסבר למה הנגזרת של x^2 היא 2x)
נשים לב שאם ניקח שני נקודות על הפונקציה ונחבר אותן בקו, נקבל מיתר,הישר שהמיתר עובר בו דיי רחוק משיפוע הגרף בנקודה על הגרף,
אם למשל אקח את שתי הנקודות
(0,0) ו- (1,1)
על הפונקציה x^2 אקבל משהו כזה
https://www.desmos.com/calculator/i5opsgdppp
אך אם למשל אקח שתי נקודות יותר קרובות
(0,0) ו- (0.5,0.25)
שיפוע הישר של המיתר בין שתי הנקודות מתקרב לשיפוע הפונקציה בנקודה 0 (כי התקרבנו בצד ימין, בהתחלה היו הנקודות (0,0) ו- (1,1) ואחר כך (0,0) עם (0.50,0.25)
נוכל לקרב עוד את הנקודה הימנית לנקודה (0,0) ולקבל שיפוע קרוב יותר לשיפוע הפונקציה בנקודה (0,0)
אך במתמטיקה יש דבר כזה שנקרא חשבון גבולות, כך שנוכל לקחת מספר קטן כרצוננו ולקרבו לאפס כמה שנרצה
שוב נבחר בנקודה (0,0)
את הנקודה השניה שבחרנו שהייתה(1,1) בהתחלה ואחר כך (0.5,0.25)
נוכל לכתוב בצורה של הנקודה (0,0) ועוד קצת
למשל
(1,1) = (0+1,0+1)
ואחר כך קירבנו את הנקודה (1,1) אל הנקודה (0,0) ובחרנו במקומה את הנקודה
(0+0.25, 0+0.5)
כלומר אנחנו כל פעם מקטינים את המספר שמתחבר ל- 0
נוכל לכתוב באופן כללי
(t+0), (t^2+0)
כי הערך שנמצא בציר y הוא הריבוע של הערך שמופיע בציר x (כך הפונקציה x^2 עובדת)
בכל מקרה, נשים לב שככל ש- t קטן יותר כך השיפוע של הישר של המיתר שעובר בין שתי הנקודות (0,0), (t,t^2) קרוב יותר לשיפוע של הפונקציה בנקודה (0,0) כי ככל ש- t קטן יותר אז הנקודה (t,t^2) קרובה יותר לנקודה (0,0) וכפי שראינו זה מקרב אותנו לשיפוע הפונקציה בנקודה
כמה קטן t צריך להיות כדי שהשיפוע יהיה מספיק טוב?
אין תשובה, כי t זה מספר שיכול להיות קטן ככל האפשר.
אמנם אנחנו בודקים את השיפוע בנקודה (0,0) כי קירבנו את כל הנקודות שלנו לנקודה זו אך נוכל להציב כל נקודה במקום 0,0 ולחשב את שיפועה על ידי קירוב של נקודות אליה ובדיקת השיפוע של המיתר (שכזכור זהו שיפוע בין שתי נקודות בדיוק כמו ישר)
ואם סתם למשל נבחר בנקודה (x,y) שבעצם נוכל לכתוב (x,x^2)
אז נוכל להוסיף מספר קטן t לערך x כדי לקבל נקודה קרובה
נקבל את הנקודה
(x+t),(x+t)^2))
כזכור t הוא מספר קטן, ככל שיהיה יותר קטן כך נהיה קרובים לשיפוע של הנקודה (x,y)
יש לנו שתי נקודות על הפונקציה שהן
(x,x^2)
ו-
(x+t),(x+t)^2))
נוכל לבדוק מה השיפוע של המיתר שיוצרות לפי נוסחה של שיפוע בין שתי נקודות בדיוק כמו על ישר, נקבל
[m = [(x+t)^2 - x^2)] / [x+t - x
נפתח סוגריים במונה וה- x^2 יצטמצם במכנה ה- x מצטמצם ונקבל
m = [t^2 + 2xt] / t
נוכל לצמצם את המונה והמכנה ב- t ונקבל
m = 2x + t
אבל זה ממש דומה לנגזרת, קיבלנו שהשיפוע הוא 2x ועוד t אבל t הוא מספר ממש ממש קטן, אנחנו בחרנו אותו שיהיה, כמה קטן? הכי קטן שיש, כלומר אפשר להתעלם ממנו מרוב שהוא קטן ולכן נקבל שהשיפוע בנקודה x,y היא
m = x^2
כמובן ש- x הוא משתנה ונוכל להציב כל ערך במקומו ולמצוא את השיפוע בנקודה
ניתן להכליל זאת ולמצוא באותה הדרך (זה קצת דורש מיומנות אלגברית)
כי השיפוע של הפונקציה x^n עבור n ששונה מ- 0 (כי אז בעצם זאת הפונקציה y = 1)
הוא (n*x^(n-1
בהצלחה !
אשמח לעזור תעלי את השאלה
באותו הנושא: