4 תשובות
חופש גדול למה להזכיר לימודים לעזאזל
אנונימית
הנני כאן כדי לשמוע את שאלתך הנחשקת
שואל השאלה:
חחח תודה
חחח תודה
קישורים מצורפים:
אנונימית
(f(x)=x^2*sqrt(m-2x.
נתון: לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית הנמצאת על הישר y=128. כלומר שיעור ה y של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) הוא y=128.
א. 1. כדי למצוא את m, נצטרך קודם כל לגזור את הפונקציה לפי הכלל של נגזרת מכפלה
f*g)'=f'*g+g'*f)
ונגזרת שורש:
(f'(x
---------------- = '[(sqrt f(x]
(2sqrt f(x
||
v
2-
--------------------*f'(x)=2x*sqrt(m-2x)+x^2
(2sqrt(m-2x
ה 2 מצטמצם:
x^2
----------------- - (f'(x)=2x*sqrt(m-2x
(sqrt(m-2x
מכנה משותף - (sqrt(m-2x:
2x(m-2x)-x^2
=---------------------- = (f'(x
(sqrt(m-2x
2mx-4x^2-x^2
=---------------------
(sqrt(m-2x
2mx-5x^2
-------------------
(sqrt(m-2x
נשווה ל 0:
f'(x)=0
2mx-5x^2
----------------- = 0
(sqrt(m-2x
מכנה מתבטל:
2mx-5x^2=0
נוציא x כגורם משותף:
x(2m-5x)=0
i. x=0
ii. 2m-5x=0
5x=2m
x=2m/5
אם נציב x=0 בפונקציה f(x), נקבל ש
f(0)=0. לכן רק עבור x=2m/5 ערך הפונקציה יהיה y=128. כלומר:
f(2m/5)=128
ועכשיו נציב ונשווה:
f(2m/5)=[2m/5]^2*sqrt(m-2*2m/5)=128
4m^2/25*sqrt(m-4/5)=128
4m^2/25*sqrt(m/5)=128
נכניס את 4m^2/25 לתוך השורש:
sqrt(16m^4/625*m/5)=128
sqrt(16m^5/3,125)=128
נעלה את שני האגפים בריבוע:
16m^5/3,125=16,384
נכפיל את שני האגפים ב 3,125
16m^5=51,200,000
נחלק את שני האגפים ב 16:
m^5=3,200,000
נעשה שורש חמישי על שני האגפים:
m=20
עדכון פונקציה:
(f(x)=x^2*sqrt(20-2x
תחום הגדרה: הביטוי מתחת לשורש גדול או שווה ל 0:
i 20-2x>=0 (להתעלם מה i)
2x<=20
נחלק את שני האגפים ב 2:
x<=10
וזה תחום ההגדרה של הפונקציה.
2. כדי למצוא נקודות קיצון, ובשביל לחסוך עבודה כרוכה נוספת של גזירה נוכל להציב m=20 בנגזרת שמצאנו:
2mx-5x^2
----------------- = (f'(x
(sqrt(m-2x
||
v
40x-5x^2
------------------ = (f'(x
(sqrt(20-2x
נשווה ל 0, המכנה יתבטל:
40x-5x^2=0
נוציא 5x כגורם משותף:
5x(8-x)=0
i. x=0
f(0)=0
(0,0)
min.
ii. 8-x=0
x=8
f(8)=128
(ואת מוזמנת לבדוק את זה)
(8,128)
max.
עכשיו נשתמש בטבלה של תחומי עלייה וירידה כדי למצוא את סוגי נקודות הקיצון:
x|________0___________8________10
y'|____-____0____+______0____-_____i
y|____\__min___/_____max__\_____i
3. חיתוך עם הצירים:
ציר ה x:
נשווה את הפונקציה ל 0 -
f(x)=0
x^2*sqrt(20-2x)=0
i. x^2=0
i. x=0
(i. (0,0
ii. sqrt(20-2x)=0
נעלה את שני האגפים בריבוע:
ii. 20-2x=0
ii. 2x=20
ii. x=10
(ii. (10,0
ציר ה y:
נציב x=0:
f(0)=0^2*sqrt(20-2*0)=0
(0,0)
4. תחומי עלייה וירידה:
נשתמש בטבלה שעשיתי בתת סעיף א. 2.:
עלייה: i 0<x<8 (להתעלם מה i)
ירידה: x<0 או i 8<x<10 (שוב-להתעלם מה i)
ב. שרטוט סקיצה של f(x) בקישור למטה.
ג. כדי לפתור את ג, נשרטט את גרף הפונקציה f'(x) באותה מערכת צירים עם f(x). נוכל להעזר בתחומי העלייה והירידה של f(x) לשם כך:
בתחום x בין 0 ל 8 f(x) עולה --> f'(x) חיובית בתחום זה.
בתחום x<0 ו x בין 8 ל 10 f(x) יורדת --> f'(x) שלילית בתחום זה.
נוכל לשרטט את f'(x) לפי תחומי החיוביות והשליליות שלה, ואז לראות בכמה נקודות f'(x) חותכת את f(x):
http://www.up2me.co.il/v.php?file=56871707.jpg
(הגרף הצהוב הוא של f'(x) )
לפי הגרפים של שתי הפונקציות, ניתן לראות כי הן נחתכות בשתי נקודות.
מכאן שלמשוואה (f(x)=f'(x יש שני פתרונות
נתון: לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית הנמצאת על הישר y=128. כלומר שיעור ה y של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) הוא y=128.
א. 1. כדי למצוא את m, נצטרך קודם כל לגזור את הפונקציה לפי הכלל של נגזרת מכפלה
f*g)'=f'*g+g'*f)
ונגזרת שורש:
(f'(x
---------------- = '[(sqrt f(x]
(2sqrt f(x
||
v
2-
--------------------*f'(x)=2x*sqrt(m-2x)+x^2
(2sqrt(m-2x
ה 2 מצטמצם:
x^2
----------------- - (f'(x)=2x*sqrt(m-2x
(sqrt(m-2x
מכנה משותף - (sqrt(m-2x:
2x(m-2x)-x^2
=---------------------- = (f'(x
(sqrt(m-2x
2mx-4x^2-x^2
=---------------------
(sqrt(m-2x
2mx-5x^2
-------------------
(sqrt(m-2x
נשווה ל 0:
f'(x)=0
2mx-5x^2
----------------- = 0
(sqrt(m-2x
מכנה מתבטל:
2mx-5x^2=0
נוציא x כגורם משותף:
x(2m-5x)=0
i. x=0
ii. 2m-5x=0
5x=2m
x=2m/5
אם נציב x=0 בפונקציה f(x), נקבל ש
f(0)=0. לכן רק עבור x=2m/5 ערך הפונקציה יהיה y=128. כלומר:
f(2m/5)=128
ועכשיו נציב ונשווה:
f(2m/5)=[2m/5]^2*sqrt(m-2*2m/5)=128
4m^2/25*sqrt(m-4/5)=128
4m^2/25*sqrt(m/5)=128
נכניס את 4m^2/25 לתוך השורש:
sqrt(16m^4/625*m/5)=128
sqrt(16m^5/3,125)=128
נעלה את שני האגפים בריבוע:
16m^5/3,125=16,384
נכפיל את שני האגפים ב 3,125
16m^5=51,200,000
נחלק את שני האגפים ב 16:
m^5=3,200,000
נעשה שורש חמישי על שני האגפים:
m=20
עדכון פונקציה:
(f(x)=x^2*sqrt(20-2x
תחום הגדרה: הביטוי מתחת לשורש גדול או שווה ל 0:
i 20-2x>=0 (להתעלם מה i)
2x<=20
נחלק את שני האגפים ב 2:
x<=10
וזה תחום ההגדרה של הפונקציה.
2. כדי למצוא נקודות קיצון, ובשביל לחסוך עבודה כרוכה נוספת של גזירה נוכל להציב m=20 בנגזרת שמצאנו:
2mx-5x^2
----------------- = (f'(x
(sqrt(m-2x
||
v
40x-5x^2
------------------ = (f'(x
(sqrt(20-2x
נשווה ל 0, המכנה יתבטל:
40x-5x^2=0
נוציא 5x כגורם משותף:
5x(8-x)=0
i. x=0
f(0)=0
(0,0)
min.
ii. 8-x=0
x=8
f(8)=128
(ואת מוזמנת לבדוק את זה)
(8,128)
max.
עכשיו נשתמש בטבלה של תחומי עלייה וירידה כדי למצוא את סוגי נקודות הקיצון:
x|________0___________8________10
y'|____-____0____+______0____-_____i
y|____\__min___/_____max__\_____i
3. חיתוך עם הצירים:
ציר ה x:
נשווה את הפונקציה ל 0 -
f(x)=0
x^2*sqrt(20-2x)=0
i. x^2=0
i. x=0
(i. (0,0
ii. sqrt(20-2x)=0
נעלה את שני האגפים בריבוע:
ii. 20-2x=0
ii. 2x=20
ii. x=10
(ii. (10,0
ציר ה y:
נציב x=0:
f(0)=0^2*sqrt(20-2*0)=0
(0,0)
4. תחומי עלייה וירידה:
נשתמש בטבלה שעשיתי בתת סעיף א. 2.:
עלייה: i 0<x<8 (להתעלם מה i)
ירידה: x<0 או i 8<x<10 (שוב-להתעלם מה i)
ב. שרטוט סקיצה של f(x) בקישור למטה.
ג. כדי לפתור את ג, נשרטט את גרף הפונקציה f'(x) באותה מערכת צירים עם f(x). נוכל להעזר בתחומי העלייה והירידה של f(x) לשם כך:
בתחום x בין 0 ל 8 f(x) עולה --> f'(x) חיובית בתחום זה.
בתחום x<0 ו x בין 8 ל 10 f(x) יורדת --> f'(x) שלילית בתחום זה.
נוכל לשרטט את f'(x) לפי תחומי החיוביות והשליליות שלה, ואז לראות בכמה נקודות f'(x) חותכת את f(x):
http://www.up2me.co.il/v.php?file=56871707.jpg
(הגרף הצהוב הוא של f'(x) )
לפי הגרפים של שתי הפונקציות, ניתן לראות כי הן נחתכות בשתי נקודות.
מכאן שלמשוואה (f(x)=f'(x יש שני פתרונות
קישורים מצורפים:
באותו הנושא: